Номер 571, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Многочлен и его стандартный вид. Параграф 9. Сумм и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 571, страница 129.

Условие.

571. Запишите в стандартном виде многочлен:

a) $2a^2x^3 - ax^3 - a^4 - a^2x^3 + ax^3 + 2a^4$;

б) $5x \cdot 2y^2 - 5x \cdot 3xy - x^2y + 6xy^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $2a^2x^3 - ax^3 - a^4 - a^2x^3 + ax^3 + 2a^4$

Для того чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно найти и сложить подобные члены. Подобными называются члены, имеющие одинаковую буквенную часть.

Выделим группы подобных членов в данном выражении:

• Члены с $a^2x^3$: $2a^2x^3$ и $-a^2x^3$
• Члены с $ax^3$: $-ax^3$ и $ax^3$
• Члены с $a^4$: $-a^4$ и $2a^4$

Теперь выполним приведение подобных слагаемых, то есть сложим их коэффициенты:

$(2a^2x^3 - a^2x^3) + (-ax^3 + ax^3) + (-a^4 + 2a^4) = (2-1)a^2x^3 + (-1+1)ax^3 + (-1+2)a^4 = 1 \cdot a^2x^3 + 0 \cdot ax^3 + 1 \cdot a^4 = a^2x^3 + 0 + a^4 = a^2x^3 + a^4$

Запишем полученный многочлен, располагая его члены в порядке убывания их степеней. Степень члена $a^2x^3$ равна $2+3=5$. Степень члена $a^4$ равна 4. Таким образом, стандартный вид многочлена:

$a^2x^3 + a^4$

Ответ: $a^2x^3 + a^4$

б) $5x \cdot 2y^2 - 5x \cdot 3xy - x^2y + 6xy^2$

Сначала необходимо привести к стандартному виду каждый член многочлена, выполнив операции умножения:

$5x \cdot 2y^2 = (5 \cdot 2)xy^2 = 10xy^2$

$5x \cdot 3xy = (5 \cdot 3)(x \cdot x)y = 15x^2y$

Теперь подставим полученные одночлены в исходное выражение:

$10xy^2 - 15x^2y - x^2y + 6xy^2$

Далее сгруппируем и приведем подобные члены:

$(10xy^2 + 6xy^2) + (-15x^2y - x^2y)$

Сложим коэффициенты в каждой группе:

$(10+6)xy^2 + (-15-1)x^2y = 16xy^2 - 16x^2y$

Для записи в стандартном виде принято располагать члены многочлена в определенном порядке, например, в лексикографическом (по убыванию степени переменной $x$, а затем $y$). Степень $x$ в члене $-16x^2y$ равна 2, а в члене $16xy^2$ равна 1. Поэтому член $-16x^2y$ будет первым.

$-16x^2y + 16xy^2$

Ответ: $-16x^2y + 16xy^2$