Номер 575, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Многочлен и его стандартный вид. Параграф 9. Сумм и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 575, страница 129.

Условие.

575. Докажите, что многочлен $x^2+y^2+1$ при любых значениях $x$ и $y$ принимает положительные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Рассмотрим данный многочлен $x^2 + y^2 + 1$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Это означает, что для любого значения $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$, и для любого значения $y$ выполняется неравенство $y^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых, $x^2$ и $y^2$, также будет неотрицательной:

$x^2 + y^2 \ge 0$

Теперь прибавим к обеим частям этого неравенства число 1. Знак неравенства при этом не изменится:

$x^2 + y^2 + 1 \ge 0 + 1$

$x^2 + y^2 + 1 \ge 1$

Поскольку значение многочлена $x^2 + y^2 + 1$ всегда больше или равно 1, а число 1 является положительным ($1 > 0$), то и сам многочлен при любых значениях $x$ и $y$ принимает только положительные значения.

Ответ: Утверждение доказано. Так как $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$, то их сумма $x^2 + y^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2 + y^2 + 1 \ge 1$. Поскольку $1 > 0$, то и значение многочлена $x^2 + y^2 + 1$ всегда положительно.