Номер 574, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Многочлен и его стандартный вид. Параграф 9. Сумм и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 574, страница 129.

Условие.

574. Найдите значение многочлена $2x^2 + 1$ при $x = 0$; $-2$; $3$; $-4$. Существует ли такое значение $x$, при котором значение многочлена равно нулю? отрицательно?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Найдем значение многочлена при $x = 0$
Для нахождения значения многочлена $2x^2 + 1$ подставим вместо $x$ число 0:
$2 \cdot 0^2 + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$.
Ответ: 1

Найдем значение многочлена при $x = -2$
Подставим вместо $x$ число -2:
$2 \cdot (-2)^2 + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 8 + 1 = 9$.
Ответ: 9

Найдем значение многочлена при $x = 3$
Подставим вместо $x$ число 3:
$2 \cdot 3^2 + 1 = 2 \cdot 9 + 1 = 18 + 1 = 19$.
Ответ: 19

Найдем значение многочлена при $x = -4$
Подставим вместо $x$ число -4:
$2 \cdot (-4)^2 + 1 = 2 \cdot 16 + 1 = 32 + 1 = 33$.
Ответ: 33

Существует ли такое значение $x$, при котором значение многочлена равно нулю?
Чтобы выяснить это, приравняем многочлен к нулю и решим полученное уравнение:
$2x^2 + 1 = 0$
$2x^2 = -1$
$x^2 = -\frac{1}{2}$
Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. Так как $-\frac{1}{2}$ — отрицательное число, данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором значение многочлена равно нулю.
Ответ: нет, не существует.

Существует ли такое значение $x$, при котором значение многочлена отрицательно?
Чтобы ответить на этот вопрос, проанализируем выражение $2x^2 + 1$.
Как мы уже установили, $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.
Умножим обе части неравенства на 2 (положительное число), знак неравенства не изменится: $2x^2 \ge 0$.
Теперь прибавим к обеим частям 1: $2x^2 + 1 \ge 1$.
Это означает, что значение многочлена $2x^2 + 1$ всегда больше или равно 1. Следовательно, оно никогда не может быть отрицательным.
Ответ: нет, не существует.