Номер 581, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Многочлен и его стандартный вид. Параграф 9. Сумм и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 581, страница 130.

Условие.

581. (Задача-исследование.) Докажите, что всякая разность вида $ \overline{abbb} - a $ делится на 37.

1) Проверьте верность этого утверждения для разности:

а) 2555 - 2; б) 7111 - 7; в) 8999 - 8; г) 9666 - 9.

2) Проведите доказательство высказанного утверждения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Проверим верность утверждения для каждой из предложенных разностей.

а) Вычислим значение выражения $2555 - 2$. $2555 - 2 = 2553$. Проверим делимость результата на 37: $2553 : 37 = 69$. Деление выполняется без остатка, следовательно, утверждение верно. Ответ: Утверждение верно.

б) Вычислим значение выражения $7111 - 7$. $7111 - 7 = 7104$. Проверим делимость результата на 37: $7104 : 37 = 192$. Деление выполняется без остатка, следовательно, утверждение верно. Ответ: Утверждение верно.

в) Вычислим значение выражения $8999 - 8$. $8999 - 8 = 8991$. Проверим делимость результата на 37: $8991 : 37 = 243$. Деление выполняется без остатка, следовательно, утверждение верно. Ответ: Утверждение верно.

г) Вычислим значение выражения $9666 - 9$. $9666 - 9 = 9657$. Проверим делимость результата на 37: $9657 : 37 = 261$. Деление выполняется без остатка, следовательно, утверждение верно. Ответ: Утверждение верно.

2) Проведем доказательство высказанного утверждения в общем виде. Запись $\overline{abbb}$ означает четырехзначное число, которое можно представить в виде суммы разрядных слагаемых, где $a$ и $b$ — цифры ($a \in \{1, ..., 9\}, b \in \{0, ..., 9\}$):
$\overline{abbb} = a \cdot 1000 + b \cdot 100 + b \cdot 10 + b \cdot 1 = 1000a + 111b$.
Теперь рассмотрим разность, указанную в условии задачи:
$\overline{abbb} - a = (1000a + 111b) - a = 999a + 111b$.
Для того чтобы доказать, что это выражение делится на 37, преобразуем его. Заметим, что коэффициенты 999 и 111 делятся на 37:
$111 = 3 \cdot 37$
$999 = 9 \cdot 111 = 9 \cdot (3 \cdot 37) = 27 \cdot 37$.
Подставим эти разложения в наше выражение:
$999a + 111b = (27 \cdot 37)a + (3 \cdot 37)b$.
Вынесем общий множитель 37 за скобки:
$37 \cdot (27a + 3b)$.
Так как $a$ и $b$ являются целыми числами (цифрами), то и выражение в скобках $(27a + 3b)$ является целым числом. Следовательно, вся разность $\overline{abbb} - a$ представима в виде произведения числа 37 на целое число, что и доказывает её делимость на 37 при любых допустимых значениях $a$ и $b$.Ответ: Утверждение доказано.