Номер 583, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Многочлен и его стандартный вид. Параграф 9. Сумм и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 583, страница 130.

Условие.

583. Вычислите:

а) $ \frac{5^3 \cdot 25^2}{5^8} $;

б) $ \frac{2^5 \cdot 8}{4^4} $;

в) $ \frac{4^5 \cdot 3^8}{6^9} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\frac{5^3 \cdot 25^2}{5^8}$

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала представим число 25 в виде степени с основанием 5:

$25 = 5^2$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{5^3 \cdot (5^2)^2}{5^8}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(5^2)^2 = 5^{2 \cdot 2} = 5^4$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{5^3 \cdot 5^4}{5^8}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$5^3 \cdot 5^4 = 5^{3+4} = 5^7$

Подставим обратно в дробь:

$\frac{5^7}{5^8}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{5^7}{5^8} = 5^{7-8} = 5^{-1}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^{-1} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

б) $\frac{2^5 \cdot 8}{4^4}$

Приведем все числа к основанию 2:

$8 = 2^3$

$4 = 2^2$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{2^5 \cdot 2^3}{(2^2)^4}$

Упростим числитель и знаменатель, используя свойства степеней:

В числителе: $2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8$

В знаменателе: $(2^2)^4 = 2^{2 \cdot 4} = 2^8$

Теперь дробь имеет вид:

$\frac{2^8}{2^8}$

Любое число, деленное само на себя, равно 1. Или, используя свойство деления степеней:

$2^{8-8} = 2^0 = 1$

Ответ: 1

в) $\frac{4^5 \cdot 3^8}{6^9}$

Разложим основания степеней 4 и 6 на простые множители:

$4 = 2^2$

$6 = 2 \cdot 3$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\frac{(2^2)^5 \cdot 3^8}{(2 \cdot 3)^9}$

Применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$\frac{2^{2 \cdot 5} \cdot 3^8}{2^9 \cdot 3^9} = \frac{2^{10} \cdot 3^8}{2^9 \cdot 3^9}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и выполним деление:

$\frac{2^{10}}{2^9} \cdot \frac{3^8}{3^9} = 2^{10-9} \cdot 3^{8-9} = 2^1 \cdot 3^{-1}$

Вычислим полученное выражение:

$2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$