Страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

583. Вычислите:

а) $ \frac{5^3 \cdot 25^2}{5^8} $;

б) $ \frac{2^5 \cdot 8}{4^4} $;

в) $ \frac{4^5 \cdot 3^8}{6^9} $.

а) $\frac{5^3 \cdot 25^2}{5^8}$

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала представим число 25 в виде степени с основанием 5:

$25 = 5^2$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{5^3 \cdot (5^2)^2}{5^8}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(5^2)^2 = 5^{2 \cdot 2} = 5^4$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{5^3 \cdot 5^4}{5^8}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$5^3 \cdot 5^4 = 5^{3+4} = 5^7$

Подставим обратно в дробь:

$\frac{5^7}{5^8}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{5^7}{5^8} = 5^{7-8} = 5^{-1}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^{-1} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

б) $\frac{2^5 \cdot 8}{4^4}$

Приведем все числа к основанию 2:

$8 = 2^3$

$4 = 2^2$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{2^5 \cdot 2^3}{(2^2)^4}$

Упростим числитель и знаменатель, используя свойства степеней:

В числителе: $2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8$

В знаменателе: $(2^2)^4 = 2^{2 \cdot 4} = 2^8$

Теперь дробь имеет вид:

$\frac{2^8}{2^8}$

Любое число, деленное само на себя, равно 1. Или, используя свойство деления степеней:

$2^{8-8} = 2^0 = 1$

Ответ: 1

в) $\frac{4^5 \cdot 3^8}{6^9}$

Разложим основания степеней 4 и 6 на простые множители:

$4 = 2^2$

$6 = 2 \cdot 3$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\frac{(2^2)^5 \cdot 3^8}{(2 \cdot 3)^9}$

Применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$\frac{2^{2 \cdot 5} \cdot 3^8}{2^9 \cdot 3^9} = \frac{2^{10} \cdot 3^8}{2^9 \cdot 3^9}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и выполним деление:

$\frac{2^{10}}{2^9} \cdot \frac{3^8}{3^9} = 2^{10-9} \cdot 3^{8-9} = 2^1 \cdot 3^{-1}$

Вычислим полученное выражение:

$2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

581. (Задача-исследование.) Докажите, что всякая разность вида $ \overline{abbb} - a $ делится на 37.

1) Проверьте верность этого утверждения для разности:

а) 2555 - 2; б) 7111 - 7; в) 8999 - 8; г) 9666 - 9.

2) Проведите доказательство высказанного утверждения.

1) Проверим верность утверждения для каждой из предложенных разностей.

а) Вычислим значение выражения $2555 - 2$. $2555 - 2 = 2553$. Проверим делимость результата на 37: $2553 : 37 = 69$. Деление выполняется без остатка, следовательно, утверждение верно. Ответ: Утверждение верно.

б) Вычислим значение выражения $7111 - 7$. $7111 - 7 = 7104$. Проверим делимость результата на 37: $7104 : 37 = 192$. Деление выполняется без остатка, следовательно, утверждение верно. Ответ: Утверждение верно.

в) Вычислим значение выражения $8999 - 8$. $8999 - 8 = 8991$. Проверим делимость результата на 37: $8991 : 37 = 243$. Деление выполняется без остатка, следовательно, утверждение верно. Ответ: Утверждение верно.

г) Вычислим значение выражения $9666 - 9$. $9666 - 9 = 9657$. Проверим делимость результата на 37: $9657 : 37 = 261$. Деление выполняется без остатка, следовательно, утверждение верно. Ответ: Утверждение верно.

2) Проведем доказательство высказанного утверждения в общем виде. Запись $\overline{abbb}$ означает четырехзначное число, которое можно представить в виде суммы разрядных слагаемых, где $a$ и $b$ — цифры ($a \in \{1, ..., 9\}, b \in \{0, ..., 9\}$):
$\overline{abbb} = a \cdot 1000 + b \cdot 100 + b \cdot 10 + b \cdot 1 = 1000a + 111b$.
Теперь рассмотрим разность, указанную в условии задачи:
$\overline{abbb} - a = (1000a + 111b) - a = 999a + 111b$.
Для того чтобы доказать, что это выражение делится на 37, преобразуем его. Заметим, что коэффициенты 999 и 111 делятся на 37:
$111 = 3 \cdot 37$
$999 = 9 \cdot 111 = 9 \cdot (3 \cdot 37) = 27 \cdot 37$.
Подставим эти разложения в наше выражение:
$999a + 111b = (27 \cdot 37)a + (3 \cdot 37)b$.
Вынесем общий множитель 37 за скобки:
$37 \cdot (27a + 3b)$.
Так как $a$ и $b$ являются целыми числами (цифрами), то и выражение в скобках $(27a + 3b)$ является целым числом. Следовательно, вся разность $\overline{abbb} - a$ представима в виде произведения числа 37 на целое число, что и доказывает её делимость на 37 при любых допустимых значениях $a$ и $b$.Ответ: Утверждение доказано.

584. При каком значении аргумента функция $y = 0,01x$ принимает значение, равное:

а) 240;

б) -100?

Чтобы найти, при каком значении аргумента $x$ функция $y = 0,01x$ принимает заданное значение, необходимо выразить $x$ через $y$ из данного уравнения.

Исходное уравнение:

$y = 0,01x$

Для того чтобы выразить $x$, разделим обе части уравнения на $0,01$:

$x = \frac{y}{0,01}$

Деление на десятичную дробь $0,01$ эквивалентно умножению на $100$, так как $0,01 = \frac{1}{100}$. Следовательно, формула для нахождения $x$ будет следующей:

$x = 100y$

Теперь мы можем найти значения аргумента для каждого из заданных случаев.

а) Найдём значение аргумента $x$, при котором функция принимает значение, равное $240$.

Подставим $y = 240$ в выведенную формулу:

$x = 100 \cdot 240 = 24000$

Ответ: 24000.

б) Найдём значение аргумента $x$, при котором функция принимает значение, равное $-100$.

Подставим $y = -100$ в выведенную формулу:

$x = 100 \cdot (-100) = -10000$

Ответ: -10000.

582. Решите уравнение:

а) $0.3y = 70$;

б) $\frac{5}{8}x = -1$;

в) $\frac{1}{9}a = -\frac{3}{7}$.

а) Дано уравнение $0,3y = 70$.
Чтобы найти неизвестный множитель $y$, нужно произведение (70) разделить на известный множитель (0,3).
$y = 70 \div 0,3$
Чтобы разделить на десятичную дробь, можно умножить и делимое, и делитель на 10, чтобы избавиться от запятой в делителе.
$y = 700 \div 3$
Выполним деление и запишем результат в виде смешанного числа:
$y = \frac{700}{3} = 233\frac{1}{3}$.
Ответ: $233\frac{1}{3}$.

б) Дано уравнение $\frac{5}{8}x = -1$.
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (-1) разделить на известный множитель ($\frac{5}{8}$).
$x = -1 \div \frac{5}{8}$
Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.
$x = -1 \cdot \frac{8}{5}$
$x = -\frac{8}{5}$
Представим результат в виде смешанного числа:
$x = -1\frac{3}{5}$.
Ответ: $-1\frac{3}{5}$.

в) Дано уравнение $\frac{1}{9}a = -\frac{3}{7}$.
Чтобы найти неизвестный множитель $a$, нужно произведение ($-\frac{3}{7}$) разделить на известный множитель ($\frac{1}{9}$).
$a = -\frac{3}{7} \div \frac{1}{9}$
Разделим дроби, умножив первую дробь на дробь, обратную второй.
$a = -\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{1}$
$a = -\frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 1} = -\frac{27}{7}$
Выделим целую часть в полученной неправильной дроби:
$a = -3\frac{6}{7}$.
Ответ: $-3\frac{6}{7}$.