Страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

595. Упростите выражение:

а) $(a^2 - 0.45a + 1.2) + (0.8a^2 - 1.2a) - (1.6a^2 - 2a)$;

б) $(y^2 - 1.75y - 3.2) - (0.3y^2 + 4) - (2y - 7.2)$;

в) $6xy - 2x^2 - (3xy + 4x^2 + 1) - (-xy - 2x^2 - 1)$;

г) $-(2ab^2 - ab + b) + 3ab^2 - 4b - (5ab - ab^2).$

а) Чтобы упростить выражение, сначала раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «+», знаки слагаемых в скобках не меняются. Если перед скобкой стоит знак «-», знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные.

$(a^2 - 0,45a + 1,2) + (0,8a^2 - 1,2a) - (1,6a^2 - 2a) = a^2 - 0,45a + 1,2 + 0,8a^2 - 1,2a - 1,6a^2 + 2a$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью):

$(a^2 + 0,8a^2 - 1,6a^2) + (-0,45a - 1,2a + 2a) + 1,2$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(1 + 0,8 - 1,6)a^2 + (-0,45 - 1,2 + 2)a + 1,2 = (1,8 - 1,6)a^2 + (-1,65 + 2)a + 1,2 = 0,2a^2 + 0,35a + 1,2$

Ответ: $0,2a^2 + 0,35a + 1,2$

б) Раскроем скобки, меняя знаки у слагаемых во второй и третьей скобках на противоположные, так как перед ними стоит знак «-».

$(y^2 - 1,75y - 3,2) - (0,3y^2 + 4) - (2y - 7,2) = y^2 - 1,75y - 3,2 - 0,3y^2 - 4 - 2y + 7,2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(y^2 - 0,3y^2) + (-1,75y - 2y) + (-3,2 - 4 + 7,2)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(1 - 0,3)y^2 + (-1,75 - 2)y + (-7,2 + 7,2) = 0,7y^2 - 3,75y + 0 = 0,7y^2 - 3,75y$

Ответ: $0,7y^2 - 3,75y$

в) Раскроем скобки, учитывая знаки перед ними. Знак «-» перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные.

$6xy - 2x^2 - (3xy + 4x^2 + 1) - (-xy - 2x^2 - 1) = 6xy - 2x^2 - 3xy - 4x^2 - 1 + xy + 2x^2 + 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(6xy - 3xy + xy) + (-2x^2 - 4x^2 + 2x^2) + (-1 + 1)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(6 - 3 + 1)xy + (-2 - 4 + 2)x^2 + 0 = 4xy - 4x^2$

Ответ: $4xy - 4x^2$

г) Раскроем скобки. В первом и третьем случае меняем знаки слагаемых на противоположные, так как перед ними стоит знак «-».

$-(2ab^2 - ab + b) + 3ab^2 - 4b - (5ab - ab^2) = -2ab^2 + ab - b + 3ab^2 - 4b - 5ab + ab^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-2ab^2 + 3ab^2 + ab^2) + (ab - 5ab) + (-b - 4b)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(-2 + 3 + 1)ab^2 + (1 - 5)ab + (-1 - 4)b = 2ab^2 - 4ab - 5b$

Ответ: $2ab^2 - 4ab - 5b$

598. Вычислите значение выражения $5x^2 - (3xy - 7x^2) + (5xy - 12x^2)$, если:

a) $x = -0,25$ и $y = 4$;

б) $x = -5$ и $y = 0,1$.

Для вычисления значения выражения сначала упростим его. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение: $5x^2 - (3xy - 7x^2) + (5xy - 12x^2)$

Раскрываем скобки. Перед первой скобкой стоит знак минус, поэтому знаки внутри нее меняются на противоположные. Перед второй скобкой стоит знак плюс, поэтому знаки не меняются.

$5x^2 - 3xy + 7x^2 + 5xy - 12x^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5x^2 + 7x^2 - 12x^2) + (-3xy + 5xy)$

Выполним действия в каждой группе:

$(12x^2 - 12x^2) + (2xy) = 0 + 2xy = 2xy$

Теперь, когда выражение упрощено до $2xy$, подставим в него значения переменных из каждого пункта.

а)

Подставим значения $x = -0,25$ и $y = 4$ в упрощенное выражение $2xy$.

$2xy = 2 \cdot (-0,25) \cdot 4$

Выполним умножение:

$2 \cdot (-0,25) = -0,5$

$-0,5 \cdot 4 = -2$

Ответ: $-2$

б)

Подставим значения $x = -5$ и $y = 0,1$ в упрощенное выражение $2xy$.

$2xy = 2 \cdot (-5) \cdot 0,1$

Выполним умножение:

$2 \cdot (-5) = -10$

$-10 \cdot 0,1 = -1$

Ответ: $-1$

601. Какой двучлен нужно сложить с многочленом $x^2 + y^2 - 2xy + 1$, чтобы в результате получился многочлен:

а) не содержащий переменную $x$;

б) не содержащий переменную $y$?

Для решения задачи необходимо найти такой двучлен, который при сложении с исходным многочленом $x^2 + y^2 - 2xy + 1$ позволит сократить все члены, содержащие указанную переменную.

а) не содержащий переменную x;

Чтобы результирующий многочлен не содержал переменную $x$, нужно, чтобы сумма всех членов с этой переменной обратилась в нуль. В исходном многочлене $x^2 + y^2 - 2xy + 1$ члены, содержащие $x$, это $x^2$ и $-2xy$.

Для их уничтожения нужно прибавить к ним противоположные одночлены, а именно $-x^2$ и $2xy$. Эти два одночлена и составляют искомый двучлен.

Искомый двучлен: $-x^2 + 2xy$.

Проведем проверку. Сложим исходный многочлен с найденным двучленом:

$(x^2 + y^2 - 2xy + 1) + (-x^2 + 2xy) = x^2 - x^2 + y^2 - 2xy + 2xy + 1 = y^2 + 1$.

Полученный многочлен $y^2 + 1$ не содержит переменную $x$. Условие выполнено.

Ответ: $-x^2 + 2xy$.

б) не содержащий переменную y?

Аналогично, чтобы результирующий многочлен не содержал переменную $y$, нужно, чтобы сумма всех членов с этой переменной обратилась в нуль. В исходном многочлене $x^2 + y^2 - 2xy + 1$ члены, содержащие $y$, это $y^2$ и $-2xy$.

Для их уничтожения нужно прибавить к ним противоположные одночлены: $-y^2$ и $2xy$.

Искомый двучлен: $-y^2 + 2xy$.

Проведем проверку. Сложим исходный многочлен с найденным двучленом:

$(x^2 + y^2 - 2xy + 1) + (-y^2 + 2xy) = x^2 + y^2 - y^2 - 2xy + 2xy + 1 = x^2 + 1$.

Полученный многочлен $x^2 + 1$ не содержит переменную $y$. Условие выполнено.

Ответ: $-y^2 + 2xy$.

593. Найдите многочлен, после подстановки которого вместо M следующее равенство окажется тождеством:

a) $M + (5x^2 - 2xy) = 6x^2 + 9xy - y^2;$

б) $M - (4ab - 3b^2) = a^2 - 7ab + 8b^2;$

в) $(4c^4 - 7c^2 + 6) - M = 0.$

Чтобы найти многочлен $M$ в каждом случае, необходимо выразить его из данного равенства. Мы будем рассматривать $M$ как неизвестное слагаемое, уменьшаемое или вычитаемое.

а) В данном равенстве $M$ является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$M + (5x^2 - 2xy) = 6x^2 + 9xy - y^2$

$M = (6x^2 + 9xy - y^2) - (5x^2 - 2xy)$

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех членов внутри этой скобки меняются на противоположные:

$M = 6x^2 + 9xy - y^2 - 5x^2 + 2xy$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$M = (6x^2 - 5x^2) + (9xy + 2xy) - y^2$

$M = x^2 + 11xy - y^2$

Ответ: $M = x^2 + 11xy - y^2$.

б) В этом равенстве $M$ является уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$M - (4ab - 3b^2) = a^2 - 7ab + 8b^2$

$M = (a^2 - 7ab + 8b^2) + (4ab - 3b^2)$

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак плюс, поэтому знаки членов внутри скобки не меняются:

$M = a^2 - 7ab + 8b^2 + 4ab - 3b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$M = a^2 + (-7ab + 4ab) + (8b^2 - 3b^2)$

$M = a^2 - 3ab + 5b^2$

Ответ: $M = a^2 - 3ab + 5b^2$.

в) Здесь $M$ является вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$(4c^4 - 7c^2 + 6) - M = 0$

В данном случае разность равна нулю. Это означает, что уменьшаемое равно вычитаемому. Можно также выразить $M$ формально:

$M = (4c^4 - 7c^2 + 6) - 0$

$M = 4c^4 - 7c^2 + 6$

Ответ: $M = 4c^4 - 7c^2 + 6$.

596. Упростите выражение:

а) $8a^2b + (-5a^2b + 4b^2) + (a^2b - 5b^2 + 2);$

б) $(xy + x^2 + y^2) - (x^2 + y^2 - 2xy) - xy.$

а) Чтобы упростить выражение $8a^2b + (-5a^2b + 4b^2) + (a^2b - 5b^2 + 2)$, сначала раскроем скобки. Так как перед обеими скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри скобок не меняются:

$8a^2b - 5a^2b + 4b^2 + a^2b - 5b^2 + 2$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью.

Сгруппируем слагаемые с $a^2b$, слагаемые с $b^2$ и числовые члены:

$(8a^2b - 5a^2b + a^2b) + (4b^2 - 5b^2) + 2$

Выполним действия с подобными слагаемыми, складывая или вычитая их коэффициенты:

$(8 - 5 + 1)a^2b + (4 - 5)b^2 + 2 = 4a^2b - 1b^2 + 2 = 4a^2b - b^2 + 2$

Ответ: $4a^2b - b^2 + 2$

б) Чтобы упростить выражение $(xy + x^2

599. Докажите, что при любом значении $x$ разность многочленов $0,7x^4 + 0,2x^2 - 5$ и $-0,3x^4 + \frac{1}{5}x^2 - 8$ принимает положительное значение.

Чтобы доказать, что разность многочленов при любом значении $x$ принимает положительное значение, необходимо найти эту разность и проанализировать полученное выражение.

Запишем разность данных многочленов: $(0,7x^4 + 0,2x^2 - 5) - (-0,3x^4 + \frac{1}{5}x^2 - 8)$.

Для удобства вычислений преобразуем дробный коэффициент $\frac{1}{5}$ в десятичную дробь: $\frac{1}{5} = 0,2$. Теперь выражение выглядит так:

$(0,7x^4 + 0,2x^2 - 5) - (-0,3x^4 + 0,2x^2 - 8)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$0,7x^4 + 0,2x^2 - 5 + 0,3x^4 - 0,2x^2 + 8$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(0,7x^4 + 0,3x^4) + (0,2x^2 - 0,2x^2) + (-5 + 8)$

Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$1 \cdot x^4 + 0 \cdot x^2 + 3 = x^4 + 3$

В результате мы получили выражение $x^4 + 3$. Проанализируем его. Слагаемое $x^4$ — это переменная в четной степени. Любое действительное число (положительное, отрицательное или ноль), возведенное в четвертую степень, дает неотрицательный результат. То есть, $x^4 \ge 0$ при любом значении $x$.

Наименьшее значение $x^4$ равно 0 (достигается при $x=0$). Следовательно, наименьшее значение всего выражения $x^4 + 3$ будет равно $0 + 3 = 3$.

Поскольку наименьшее значение разности многочленов равно 3, а 3 — положительное число, то при любом значении $x$ эта разность всегда будет принимать положительное значение.

Ответ: Разность многочленов равна $x^4 + 3$. Так как $x^4 \ge 0$ при любом $x$, то $x^4 + 3 \ge 3$. Это означает, что разность всегда положительна, что и требовалось доказать.

594. Какой многочлен в сумме с многочленом $5x^2 - 3x - 9$ тождественно равен:

а) $0$;

б) $18$;

в) $2x - 3$;

г) $x^2 - 5x + 6$?

Чтобы найти неизвестный многочлен, нужно из итоговой суммы, которая должна получиться, вычесть известный многочлен $5x^2 - 3x - 9$. Обозначим искомый многочлен как $A$.

а) Сумма должна быть равна 0.

$(5x^2 - 3x - 9) + A = 0$

Чтобы найти $A$, вычтем из 0 многочлен $5x^2 - 3x - 9$:

$A = 0 - (5x^2 - 3x - 9)$

$A = -5x^2 + 3x + 9$

Ответ: $-5x^2 + 3x + 9$.

б) Сумма должна быть равна 18.

$(5x^2 - 3x - 9) + A = 18$

Чтобы найти $A$, вычтем из 18 многочлен $5x^2 - 3x - 9$:

$A = 18 - (5x^2 - 3x - 9)$

$A = 18 - 5x^2 + 3x + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$A = -5x^2 + 3x + (18 + 9)$

$A = -5x^2 + 3x + 27$

Ответ: $-5x^2 + 3x + 27$.

в) Сумма должна быть равна $2x - 3$.

$(5x^2 - 3x - 9) + A = 2x - 3$

Чтобы найти $A$, вычтем из многочлена $2x - 3$ многочлен $5x^2 - 3x - 9$:

$A = (2x - 3) - (5x^2 - 3x - 9)$

$A = 2x - 3 - 5x^2 + 3x + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$A = -5x^2 + (2x + 3x) + (-3 + 9)$

$A = -5x^2 + 5x + 6$

Ответ: $-5x^2 + 5x + 6$.

г) Сумма должна быть равна $x^2 - 5x + 6$.

$(5x^2 - 3x - 9) + A = x^2 - 5x + 6$

Чтобы найти $A$, вычтем из многочлена $x^2 - 5x + 6$ многочлен $5x^2 - 3x - 9$:

$A = (x^2 - 5x + 6) - (5x^2 - 3x - 9)$

$A = x^2 - 5x + 6 - 5x^2 + 3x + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$A = (x^2 - 5x^2) + (-5x + 3x) + (6 + 9)$

$A = -4x^2 - 2x + 15$

Ответ: $-4x^2 - 2x + 15$.

597. Найдите значение выражения

$(5.7a^2b - 3.1ab + 8b^3) - (6.9ab - 2.3a^2b + 8b^3),$

если:

a) $a = 2$ и $b = 5;$

б) $a = -2$ и $b = 3.$

Для начала упростим исходное выражение. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. При раскрытии второй скобки знаки слагаемых меняются на противоположные.

$(5,7a^2b - 3,1ab + 8b^3) - (6,9ab - 2,3a^2b + 8b^3) = 5,7a^2b - 3,1ab + 8b^3 - 6,9ab + 2,3a^2b - 8b^3$

Теперь сгруппируем и сложим подобные члены:

$(5,7a^2b + 2,3a^2b) + (-3,1ab - 6,9ab) + (8b^3 - 8b^3) = 8a^2b - 10ab + 0 = 8a^2b - 10ab$

Теперь, когда выражение упрощено, можно подставлять в него значения переменных.

а) если $a = 2$ и $b = 5$

Подставим значения $a$ и $b$ в упрощенное выражение $8a^2b - 10ab$:

$8 \cdot 2^2 \cdot 5 - 10 \cdot 2 \cdot 5 = 8 \cdot 4 \cdot 5 - 10 \cdot 10 = 160 - 100 = 60$.

Ответ: $60$.

б) если $a = -2$ и $b = 3$

Подставим значения $a$ и $b$ в упрощенное выражение $8a^2b - 10ab$:

$8 \cdot (-2)^2 \cdot 3 - 10 \cdot (-2) \cdot 3 = 8 \cdot 4 \cdot 3 - (-60) = 96 + 60 = 156$.

Ответ: $156$.

600. (Для работы в парах.) Учащимся была предложена задача:

«Найдите значение выражения

$ (7a^3 - 6a^2b + 5ab^2) + (5a^3 + 7a^2b + 3ab^2) - (10a^3 + a^2b + 8ab^2) $

при $a = -0,25$».

Один из учеников сказал, что в задаче не хватает данных. Прав ли он?

1) Обсудите друг с другом, в каком случае ученик окажется прав.

2) Выполните преобразования.

3) Сделайте вывод.

1) Обсудите друг с другом, в каком случае ученик окажется прав.

Ученик предполагает, что для нахождения значения выражения не хватает данных. В выражении присутствуют две переменные, $a$ и $b$, но в условии дано значение только для переменной $a$. Ученик окажется прав в том случае, если после упрощения (преобразования) исходного выражения в нем останется переменная $b$. Если итоговое выражение будет зависеть от $b$, то без ее числового значения найти конкретное значение всего выражения будет невозможно.

Ответ: Ученик окажется прав, если после упрощения выражения переменная $b$ не сократится, и итоговое выражение будет от нее зависеть.

2) Выполните преобразования.

Для начала упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Исходное выражение:
$(7a^3 - 6a^2b + 5ab^2) + (5a^3 + 7a^2b + 3ab^2) - (10a^3 + a^2b + 8ab^2)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «+», знаки слагаемых в ней не меняются. Перед третьей скобкой стоит знак «-», поэтому все знаки слагаемых в ней меняются на противоположные.

$7a^3 - 6a^2b + 5ab^2 + 5a^3 + 7a^2b + 3ab^2 - 10a^3 - a^2b - 8ab^2$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(7a^3 + 5a^3 - 10a^3) + (-6a^2b + 7a^2b - a^2b) + (5ab^2 + 3ab^2 - 8ab^2)$

Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$(12a^3 - 10a^3) + (a^2b - a^2b) + (8ab^2 - 8ab^2) = 2a^3 + 0 + 0 = 2a^3$

После упрощения мы получили выражение $2a^3$. Теперь подставим в него значение $a = -0,25$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,25 = -\frac{1}{4}$.

$2a^3 = 2 \cdot (-\frac{1}{4})^3 = 2 \cdot (-\frac{1^3}{4^3}) = 2 \cdot (-\frac{1}{64}) = -\frac{2}{64} = -\frac{1}{32}$

Ответ: Значение выражения равно $-\frac{1}{32}$ (или $-0,03125$).

3) Сделайте вывод.

После выполнения преобразований исходное выражение упростилось до вида $2a^3$. Переменная $b$ в результате сократилась, и значение выражения от нее не зависит. Следовательно, данных в задаче было достаточно для нахождения ответа. Это означает, что ученик, который сказал, что данных не хватает, был неправ.

Ответ: Ученик был неправ.