Номер 599, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Сложение и вычитание многочленов. Параграф 9. Сумм и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 599, страница 132.

Условие.

599. Докажите, что при любом значении $x$ разность многочленов $0,7x^4 + 0,2x^2 - 5$ и $-0,3x^4 + \frac{1}{5}x^2 - 8$ принимает положительное значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что разность многочленов при любом значении $x$ принимает положительное значение, необходимо найти эту разность и проанализировать полученное выражение.

Запишем разность данных многочленов: $(0,7x^4 + 0,2x^2 - 5) - (-0,3x^4 + \frac{1}{5}x^2 - 8)$.

Для удобства вычислений преобразуем дробный коэффициент $\frac{1}{5}$ в десятичную дробь: $\frac{1}{5} = 0,2$. Теперь выражение выглядит так:

$(0,7x^4 + 0,2x^2 - 5) - (-0,3x^4 + 0,2x^2 - 8)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$0,7x^4 + 0,2x^2 - 5 + 0,3x^4 - 0,2x^2 + 8$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(0,7x^4 + 0,3x^4) + (0,2x^2 - 0,2x^2) + (-5 + 8)$

Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$1 \cdot x^4 + 0 \cdot x^2 + 3 = x^4 + 3$

В результате мы получили выражение $x^4 + 3$. Проанализируем его. Слагаемое $x^4$ — это переменная в четной степени. Любое действительное число (положительное, отрицательное или ноль), возведенное в четвертую степень, дает неотрицательный результат. То есть, $x^4 \ge 0$ при любом значении $x$.

Наименьшее значение $x^4$ равно 0 (достигается при $x=0$). Следовательно, наименьшее значение всего выражения $x^4 + 3$ будет равно $0 + 3 = 3$.

Поскольку наименьшее значение разности многочленов равно 3, а 3 — положительное число, то при любом значении $x$ эта разность всегда будет принимать положительное значение.

Ответ: Разность многочленов равна $x^4 + 3$. Так как $x^4 \ge 0$ при любом $x$, то $x^4 + 3 \ge 3$. Это означает, что разность всегда положительна, что и требовалось доказать.