Страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

613. С помощью калькулятора найдите значение выражения $x^2 - y$, если $x = 1,4$, $y = 0,157$.

Для нахождения значения выражения $x^2 - y$ необходимо подставить в него указанные значения переменных $x = 1,4$ и $y = 0,157$.

Подставим значения в выражение: $x^2 - y = 1,4^2 - 0,157$.

Следуя порядку действий, сначала выполним операцию возведения в степень. С помощью калькулятора находим: $1,4^2 = 1,4 \times 1,4 = 1,96$.

Теперь выполним операцию вычитания: $1,96 - 0,157 = 1,803$.

Следовательно, значение выражения при заданных $x$ и $y$ равно $1,803$.

Ответ: $1,803$

611. (Задача-исследование.) В «Арифметике» Магницкого, написанной в начале XVIII в., предлагается такой способ угадывания задуманного двузначного числа: «Если кто задумал двузначное число, то скажи ему, чтобы он увеличил число десятков в 2 раза и к произведению прибавил 5 единиц; затем полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил 10 единиц и число единиц задуманного числа, а результат произведённых действий сообщил бы тебе. Если ты из указанного результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число».

1) Выберите двузначное число и проверьте предложенный способ угадывания задуманного числа.

2) Предложите соседу по парте задумать двузначное число, выполнить указанные в условии задачи действия и сообщить результат.

3) Найдите число, задуманное соседом.

4) Докажите справедливость способа отгадывания задуманного двузначного числа, предложенного в учебнике Магницкого.

Пусть задуманное двузначное число равно $10a + b$, где $a$ — число десятков, а $b$ — число единиц.

Последовательность действий:

Увеличение числа десятков в 2 раза: $2a$

Прибавление 5 единиц: $2a + 5$

Увеличение полученной суммы в 5 раз: $5(2a + 5)$

Прибавление 10 единиц: $5(2a + 5) + 10$

Прибавление числа единиц задуманного числа (итоговый результат $R$): $R = 5(2a + 5) + 10 + b$

Упростим выражение для $R$:

$R = 10a + 25 + 10 + b$

$R = 10a + b + 35$

Так как задуманное число равно $10a + b$, мы можем записать:

$R = (10a + b) + 35$

Чтобы узнать задуманное число, необходимо вычесть 35 из $R$:

$10a + b = R - 35$

Таким образом, способ является справедливым.

Выберем для проверки двузначное число, например, 78. В этом числе 7 десятков и 8 единиц. Следуем инструкции из задачи:

1. Увеличиваем число десятков (7) в 2 раза: $7 \times 2 = 14$.
2. К произведению прибавляем 5: $14 + 5 = 19$.
3. Полученную сумму увеличиваем в 5 раз: $19 \times 5 = 95$.
4. К новому произведению прибавляем 10 и число единиц задуманного числа (8): $95 + 10 + 8 = 113$.

Получился результат 113. Теперь, чтобы отгадать число, вычтем из этого результата 35: $113 - 35 = 78$.

Результат совпал с задуманным числом. Способ работает.

Ответ: Проверка на числе 78 подтвердила, что способ работает.

Предположим, я предложил соседу по парте задумать число. Он выполнил все действия и сообщил мне итоговый результат: 92.

Ответ: Сосед по парте сообщил результат 92.

Сосед по парте сообщил мне результат 92. Чтобы найти задуманное им число, я должен вычесть 35 из этого результата.

$92 - 35 = 57$

Следовательно, задуманное соседом число — 57.

Для уверенности можно сделать проверку: если бы он задумал 57 (5 десятков, 7 единиц).

1. $5 \times 2 = 10$
2. $10 + 5 = 15$
3. $15 \times 5 = 75$
4. $75 + 10 + 7 = 92$

Результат совпадает с тем, что сообщил сосед. Значит, я угадал верно.

Ответ: Задуманное соседом число — 57.

Чтобы доказать справедливость этого способа, представим любое двузначное число в алгебраической форме. Любое двузначное число $N$ можно записать как $N = 10a + b$, где $a$ — это число десятков (целое число от 1 до 9), а $b$ — число единиц (целое число от 0 до 9).

Теперь выполним все действия, описанные в задаче, с этим общим представлением числа:

1. «увеличил число десятков в 2 раза»: $a \times 2 = 2a$.
2. «к произведению прибавил 5 единиц»: $2a + 5$.
3. «полученную сумму увеличил в 5 раз»: $(2a + 5) \times 5$.
4. «к новому произведению прибавил 10 единиц и число единиц задуманного числа»: $(2a + 5) \times 5 + 10 + b$.

Это итоговый результат, который сообщают отгадывающему. Обозначим его как $R$. Упростим выражение для $R$, раскрыв скобки:

$R = (2a \times 5) + (5 \times 5) + 10 + b = 10a + 25 + 10 + b = 10a + b + 35$.

Способ угадывания заключается в том, чтобы вычесть 35 из полученного результата $R$:

$R - 35 = (10a + b + 35) - 35 = 10a + b$.

Как мы видим, результат этого вычитания в точности равен $10a + b$, что является первоначальным задуманным числом $N$. Поскольку это верно для любых цифр $a$ (от 1 до 9) и $b$ (от 0 до 9), составляющих двузначное число, способ является справедливым для любого двузначного числа.

Ответ: Справедливость способа доказана, так как в результате алгебраических преобразований получается тождество, показывающее, что итоговая операция (вычитание 35) всегда приводит к исходному числу $10a + b$.

612. Представьте выражение в виде одночлена:

а) $(2x^2)^3 \cdot \frac{1}{4}x^2;$

б) $-0,2a^2b^3 \cdot (-5a^3b^2)^2;$

в) $(-3y^4)^3 \cdot \frac{1}{9}y^5;$

г) $(-0,5c^4d)^3 \cdot (-4c^2d^2)^2;$

д) $(-pq)^6 \cdot (6p^2q)^3;$

е) $(3mn)^4 \cdot (-3mn^2)^6.$

а) $(2x^2)^3 \cdot \frac{1}{4}x^2$

Сначала возведем первый множитель в степень, используя свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(2x^2)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = 8x^{2 \cdot 3} = 8x^6$

Теперь умножим полученный одночлен на второй множитель:

$8x^6 \cdot \frac{1}{4}x^2$

Перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(8 \cdot \frac{1}{4}) \cdot (x^6 \cdot x^2) = 2x^{6+2} = 2x^8$

Ответ: $2x^8$

б) $-0,2a^2b^3 \cdot (-5a^3b^2)^2$

Возведем второй множитель в квадрат:

$(-5a^3b^2)^2 = (-5)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 = 25a^{3 \cdot 2}b^{2 \cdot 2} = 25a^6b^4$

Теперь умножим первый одночлен на полученный результат:

$-0,2a^2b^3 \cdot 25a^6b^4$

Сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$(-0,2 \cdot 25) \cdot (a^2 \cdot a^6) \cdot (b^3 \cdot b^4) = -5a^{2+6}b^{3+4} = -5a^8b^7$

Ответ: $-5a^8b^7$

в) $(-3y^4)^3 \cdot \frac{1}{9}y^5$

Возведем первый множитель в куб:

$(-3y^4)^3 = (-3)^3 \cdot (y^4)^3 = -27y^{4 \cdot 3} = -27y^{12}$

Умножим полученный результат на второй множитель:

$-27y^{12} \cdot \frac{1}{9}y^5$

Перемножим коэффициенты и степени:

$(-27 \cdot \frac{1}{9}) \cdot (y^{12} \cdot y^5) = -3y^{12+5} = -3y^{17}$

Ответ: $-3y^{17}$

г) $(-0,5c^4d)^3 \cdot (-4c^2d^2)^2$

Возведем в степень каждый из множителей по отдельности.

Первый множитель:

$(-0,5c^4d)^3 = (-0,5)^3 \cdot (c^4)^3 \cdot d^3 = -0,125c^{12}d^3$

Второй множитель:

$(-4c^2d^2)^2 = (-4)^2 \cdot (c^2)^2 \cdot (d^2)^2 = 16c^4d^4$

Теперь перемножим полученные одночлены:

$(-0,125c^{12}d^3) \cdot (16c^4d^4)$

Сгруппируем и вычислим:

$(-0,125 \cdot 16) \cdot (c^{12} \cdot c^4) \cdot (d^3 \cdot d^4) = -2c^{12+4}d^{3+4} = -2c^{16}d^7$

Ответ: $-2c^{16}d^7$

д) $(-pq)^6 \cdot (6p^2q)^3$

Возведем в степень каждый множитель.

Первый множитель (степень четная, поэтому отрицательный знак исчезает):

$(-pq)^6 = (-1)^6 \cdot p^6 \cdot q^6 = p^6q^6$

Второй множитель:

$(6p^2q)^3 = 6^3 \cdot (p^2)^3 \cdot q^3 = 216p^6q^3$

Перемножим результаты:

$p^6q^6 \cdot 216p^6q^3$

Сгруппируем и вычислим:

$216 \cdot (p^6 \cdot p^6) \cdot (q^6 \cdot q^3) = 216p^{6+6}q^{6+3} = 216p^{12}q^9$

Ответ: $216p^{12}q^9$

е) $(3mn)^4 \cdot (-3mn^2)^6$

Возведем в степень каждый множитель.

Первый множитель:

$(3mn)^4 = 3^4 \cdot m^4 \cdot n^4 = 81m^4n^4$

Второй множитель (степень четная, поэтому отрицательный знак исчезает):

$(-3mn^2)^6 = (-3)^6 \cdot m^6 \cdot (n^2)^6 = 3^6m^6n^{12} = 729m^6n^{12}$

Перемножим результаты:

$(81m^4n^4) \cdot (729m^6n^{12})$

Сгруппируем и вычислим. Коэффициент можно представить как произведение степеней тройки: $81 \cdot 729 = 3^4 \cdot 3^6 = 3^{10} = 59049$.

$(81 \cdot 729) \cdot (m^4 \cdot m^6) \cdot (n^4 \cdot n^{12}) = 59049m^{4+6}n^{4+12} = 59049m^{10}n^{16}$

Ответ: $59049m^{10}n^{16}$

3. Что называется степенью многочлена? Приведите пример многочлена третьей степени.

Что называется степенью многочлена

Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов. Стандартный вид многочлена — это форма записи, в которой все подобные члены приведены, а сами члены (одночлены) расположены в порядке убывания их степеней.

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Например, степень одночлена $8a^2b^5c$ равна $2+5+1=8$. Степень любого числа, отличного от нуля (например, константы 5), равна нулю.

Таким образом, чтобы найти степень многочлена, необходимо:
1. Привести его к стандартному виду (упростить, сложить подобные слагаемые).
2. Определить степень каждого его члена.
3. Выбрать наибольшую из этих степеней.

Например, рассмотрим многочлен $P(x, y) = 3x^4y^2 - xy^6 + 7x^3 - 2$.
Степени его членов: $3x^4y^2$ имеет степень $4+2=6$; $-xy^6$ имеет степень $1+6=7$; $7x^3$ имеет степень $3$; $-2$ имеет степень $0$.
Наибольшая степень равна 7, следовательно, данный многочлен является многочленом седьмой степени.

Ответ: Степенью многочлена стандартного вида является наибольшая из степеней его членов (одночленов).

Приведите пример многочлена третьей степени

Многочлен третьей степени, также известный как кубический многочлен, — это многочлен, степень которого равна трем. Это означает, что наибольшая степень среди всех его одночленов равна 3, и в нем нет одночленов более высокой степени.

Такой многочлен может содержать одну или несколько переменных.

Пример многочлена третьей степени с одной переменной:
$P(x) = 5x^3 + 2x^2 - x + 9$
В данном многочлене член $5x^3$ имеет наивысшую степень, равную 3.

Пример многочлена третьей степени с двумя переменными:
$P(a, b) = 4a^2b - 7ab + a^2 + 6b - 1$
Здесь член $4a^2b$ имеет степень $2+1=3$, которая является наибольшей.

Ответ: $y^3 - 6y^2 + 11y - 6$.

1 Дайте определение многочлена.

Многочленом называется алгебраическая сумма одночленов.

Для полного понимания этого определения, необходимо сначала определить, что такое одночлен.

Одночлен — это выражение, которое представляет собой произведение числа (называемого коэффициентом), переменных и их степеней с неотрицательными целыми показателями. Например, выражения $5x^2y$, $-3ab^4$, $c^3$ и $12$ являются одночленами. В одночлене $12$ можно считать, что переменные находятся в нулевой степени (например, $12x^0y^0$). Выражения вида $\frac{2}{x}$ или $3\sqrt{y}$ одночленами не являются, так как содержат деление на переменную или извлечение из нее корня, что соответствует отрицательной или дробной степени.

Таким образом, многочлен — это выражение, состоящее из суммы или разности таких одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами.

Например, выражение $7x^3 - 2x^2y + 5xy - 9$ является многочленом. Его членами являются одночлены $7x^3$, $-2x^2y$, $5xy$ и $-9$.

Частные случаи многочленов имеют свои названия. Многочлен, состоящий из одного члена, называют одночленом (например, $4a^2$), из двух членов — двучленом (например, $a+b$), а из трех членов — трехчленом (например, $x^2 + 2x + 1$).

Многочлен принято приводить к стандартному виду. В многочлене стандартного вида все его члены представлены в стандартном виде (числовой коэффициент на первом месте, затем переменные) и приведены подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью).

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Например, степень многочлена $7x^3 - 2x^2y + 5xy - 9$ равна $3$, так как степень члена $-2x^2y$ равна $2+1=3$, и это наибольшая степень среди всех членов.

Ответ: Многочлен — это алгебраическая сумма одночленов.

4. Составьте сумму и разность многочленов $x^2 - 3y + 6$ и $-x^2 + 3y + 1$ и преобразуйте каждое выражение в многочлен стандартного вида.

Чтобы найти сумму многочленов $x^2 - 3y + 6$ и $-x^2 + 3y + 1$, запишем их сумму и раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых в ней не меняются:
$(x^2 - 3y + 6) + (-x^2 + 3y + 1) = x^2 - 3y + 6 - x^2 + 3y + 1$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковыми переменными в одинаковых степенях):
$(x^2 - x^2) + (-3y + 3y) + (6 + 1)$
Выполним действия в каждой группе:
$0 + 0 + 7 = 7$
В результате мы получили многочлен стандартного вида.
Ответ: $7$

Чтобы найти разность многочленов, вычтем из первого многочлена $(x^2 - 3y + 6)$ второй многочлен $(-x^2 + 3y + 1)$. Запишем соответствующее выражение:
$(x^2 - 3y + 6) - (-x^2 + 3y + 1)$
Раскроем скобки. Поскольку перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки слагаемых внутри нее изменятся на противоположные:
$x^2 - 3y + 6 + x^2 - 3y - 1$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 + x^2) + (-3y - 3y) + (6 - 1)$
Выполним действия в каждой группе и получим многочлен стандартного вида:
$2x^2 - 6y + 5$
Ответ: $2x^2 - 6y + 5$

2. На примере многочлена $5a^2x + ax^2 - 4ax \cdot \frac{1}{2}x$ объясните, как привести многочлен к стандартному виду.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо выполнить два основных действия: сначала привести к стандартному виду каждый из его членов (одночленов), а затем сложить (привести) подобные члены.

Рассмотрим на примере заданного многочлена: $5a^2x + ax^2 - 4ax \cdot \frac{1}{2}x$.

1. Приведение каждого члена многочлена к стандартному виду

Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя, который стоит на первом месте (коэффициент), и степеней различных переменных. Проверим каждый член нашего многочлена.
- Первый член $5a^2x$ уже находится в стандартном виде.
- Второй член $ax^2$ также находится в стандартном виде (его неявный коэффициент равен 1).
- Третий член $-4ax \cdot \frac{1}{2}x$ не в стандартном виде, так как содержит произведение двух числовых множителей и двух переменных $x$. Упростим его, перемножив отдельно коэффициенты и отдельно переменные:
$(-4 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (a \cdot x \cdot x) = -2 \cdot (a \cdot x^2) = -2ax^2$.

После этого преобразования исходный многочлен примет вид: $5a^2x + ax^2 - 2ax^2$.

2. Приведение подобных членов

Подобные члены (или подобные слагаемые) — это члены многочлена, которые имеют одинаковую буквенную часть. В многочлене $5a^2x + ax^2 - 2ax^2$ подобными являются $ax^2$ и $-2ax^2$, поскольку их буквенная часть $ax^2$ совпадает.

Чтобы привести подобные члены, необходимо сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений:
$ax^2 - 2ax^2 = (1 - 2)ax^2 = -1ax^2 = -ax^2$.

Теперь заменим группу подобных членов на результат их сложения. Многочлен примет окончательный стандартный вид: $5a^2x - ax^2$.

В этом многочлене все члены приведены к стандартному виду и отсутствуют подобные слагаемые. Члены расположены в порядке убывания степени переменной a (сначала $a^2$, затем $a^1$).

Ответ: $5a^2x - ax^2$.

5. В многочлене $5x^2 - x + 4$ заключите в скобки два последних члена, поставив перед скобками:

а) знак «плюс»;

б) знак «минус».

а) знак «плюс»
Дано выражение $5x^2 - x + 4$. Нам нужно заключить в скобки два последних члена, а именно $-x$ и $+4$, и поставить перед скобками знак «плюс».
Правило постановки скобок со знаком «плюс» гласит, что знаки слагаемых, заключаемых в скобки, остаются без изменений.
Таким образом, мы берем члены $-x$ и $+4$ и просто заключаем их в скобки, ставя перед скобками знак «плюс».
$5x^2 - x + 4 = 5x^2 + (-x + 4)$.
Для проверки можно раскрыть скобки: $5x^2 + (-x + 4) = 5x^2 - x + 4$, что соответствует исходному многочлену.
Ответ: $5x^2 + (-x + 4)$.

б) знак «минус»
Дано то же выражение $5x^2 - x + 4$. Теперь нужно заключить в скобки те же два последних члена ($-x$ и $+4$), но поставить перед скобками знак «минус».
Правило постановки скобок со знаком «минус» гласит, что знаки всех слагаемых, заключаемых в скобки, меняются на противоположные.
Итак, мы меняем знаки у членов $-x$ и $+4$:
- знак у $-x$ меняется с «минус» на «плюс», получаем $x$;
- знак у $+4$ меняется с «плюс» на «минус», получаем $-4$.
Теперь заключаем новые члены $x$ и $-4$ в скобки и ставим перед ними знак «минус».
$5x^2 - x + 4 = 5x^2 - (x - 4)$.
Для проверки раскроем скобки: $5x^2 - (x - 4) = 5x^2 - x - (-4) = 5x^2 - x + 4$, что соответствует исходному многочлену.
Ответ: $5x^2 - (x - 4)$.