Номер 611, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Сложение и вычитание многочленов. Параграф 9. Сумм и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 611, страница 134.

Условие.

611. (Задача-исследование.) В «Арифметике» Магницкого, написанной в начале XVIII в., предлагается такой способ угадывания задуманного двузначного числа: «Если кто задумал двузначное число, то скажи ему, чтобы он увеличил число десятков в 2 раза и к произведению прибавил 5 единиц; затем полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил 10 единиц и число единиц задуманного числа, а результат произведённых действий сообщил бы тебе. Если ты из указанного результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число».

1) Выберите двузначное число и проверьте предложенный способ угадывания задуманного числа.

2) Предложите соседу по парте задумать двузначное число, выполнить указанные в условии задачи действия и сообщить результат.

3) Найдите число, задуманное соседом.

4) Докажите справедливость способа отгадывания задуманного двузначного числа, предложенного в учебнике Магницкого.

Пусть задуманное двузначное число равно $10a + b$, где $a$ — число десятков, а $b$ — число единиц.

Последовательность действий:

Увеличение числа десятков в 2 раза: $2a$

Прибавление 5 единиц: $2a + 5$

Увеличение полученной суммы в 5 раз: $5(2a + 5)$

Прибавление 10 единиц: $5(2a + 5) + 10$

Прибавление числа единиц задуманного числа (итоговый результат $R$): $R = 5(2a + 5) + 10 + b$

Упростим выражение для $R$:

$R = 10a + 25 + 10 + b$

$R = 10a + b + 35$

Так как задуманное число равно $10a + b$, мы можем записать:

$R = (10a + b) + 35$

Чтобы узнать задуманное число, необходимо вычесть 35 из $R$:

$10a + b = R - 35$

Таким образом, способ является справедливым.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Выберем для проверки двузначное число, например, 78. В этом числе 7 десятков и 8 единиц. Следуем инструкции из задачи:

1. Увеличиваем число десятков (7) в 2 раза: $7 \times 2 = 14$.
2. К произведению прибавляем 5: $14 + 5 = 19$.
3. Полученную сумму увеличиваем в 5 раз: $19 \times 5 = 95$.
4. К новому произведению прибавляем 10 и число единиц задуманного числа (8): $95 + 10 + 8 = 113$.

Получился результат 113. Теперь, чтобы отгадать число, вычтем из этого результата 35: $113 - 35 = 78$.

Результат совпал с задуманным числом. Способ работает.

Ответ: Проверка на числе 78 подтвердила, что способ работает.

2)

Предположим, я предложил соседу по парте задумать число. Он выполнил все действия и сообщил мне итоговый результат: 92.

Ответ: Сосед по парте сообщил результат 92.

3)

Сосед по парте сообщил мне результат 92. Чтобы найти задуманное им число, я должен вычесть 35 из этого результата.

$92 - 35 = 57$

Следовательно, задуманное соседом число — 57.

Для уверенности можно сделать проверку: если бы он задумал 57 (5 десятков, 7 единиц).

1. $5 \times 2 = 10$
2. $10 + 5 = 15$
3. $15 \times 5 = 75$
4. $75 + 10 + 7 = 92$

Результат совпадает с тем, что сообщил сосед. Значит, я угадал верно.

Ответ: Задуманное соседом число — 57.

4)

Чтобы доказать справедливость этого способа, представим любое двузначное число в алгебраической форме. Любое двузначное число $N$ можно записать как $N = 10a + b$, где $a$ — это число десятков (целое число от 1 до 9), а $b$ — число единиц (целое число от 0 до 9).

Теперь выполним все действия, описанные в задаче, с этим общим представлением числа:

1. «увеличил число десятков в 2 раза»: $a \times 2 = 2a$.
2. «к произведению прибавил 5 единиц»: $2a + 5$.
3. «полученную сумму увеличил в 5 раз»: $(2a + 5) \times 5$.
4. «к новому произведению прибавил 10 единиц и число единиц задуманного числа»: $(2a + 5) \times 5 + 10 + b$.

Это итоговый результат, который сообщают отгадывающему. Обозначим его как $R$. Упростим выражение для $R$, раскрыв скобки:

$R = (2a \times 5) + (5 \times 5) + 10 + b = 10a + 25 + 10 + b = 10a + b + 35$.

Способ угадывания заключается в том, чтобы вычесть 35 из полученного результата $R$:

$R - 35 = (10a + b + 35) - 35 = 10a + b$.

Как мы видим, результат этого вычитания в точности равен $10a + b$, что является первоначальным задуманным числом $N$. Поскольку это верно для любых цифр $a$ (от 1 до 9) и $b$ (от 0 до 9), составляющих двузначное число, способ является справедливым для любого двузначного числа.

Ответ: Справедливость способа доказана, так как в результате алгебраических преобразований получается тождество, показывающее, что итоговая операция (вычитание 35) всегда приводит к исходному числу $10a + b$.