Номер 610, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Сложение и вычитание многочленов. Параграф 9. Сумм и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 610, страница 133.

Условие.

610. (Для работы в парах.) Докажите, что сумма:

а) трёх последовательных натуральных чисел кратна 3;

б) четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения преобразований.

3) Выскажите аналогичное предположение о сумме пяти последовательных натуральных чисел и проверьте, верно ли оно.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Докажем, что сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3.
Пусть первое из трёх последовательных натуральных чисел равно $n$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Тогда следующие два числа будут $n+1$ и $n+2$.
Найдём их сумму $S_3$:
$S_3 = n + (n+1) + (n+2)$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$S_3 = 3n + 3$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$S_3 = 3(n+1)$
Поскольку $n$ — натуральное число, то выражение $n+1$ также является натуральным числом. Сумма $S_3$ представляет собой произведение числа 3 и натурального числа $(n+1)$, а значит, она всегда кратна 3.
Например, $4+5+6 = 15$, и $15 = 3 \cdot 5$.
Ответ: Сумма трёх последовательных натуральных чисел $n, n+1, n+2$ равна $3(n+1)$, что доказывает её кратность 3.

б) Докажем, что сумма четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4.
Пусть первое из четырёх последовательных натуральных чисел равно $n$, где $n \in \mathbb{N}$. Тогда следующие три числа будут $n+1$, $n+2$ и $n+3$.
Найдём их сумму $S_4$:
$S_4 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3)$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$S_4 = 4n + 6$
Чтобы проверить, кратна ли эта сумма 4, представим её в виде $4n+4+2$.
$S_4 = 4(n+1) + 2$
Выражение $4(n+1)$ делится на 4 без остатка. Следовательно, вся сумма $S_4$ при делении на 4 даёт остаток 2. Число, которое даёт остаток 2 при делении на 4, не может быть кратно 4.
Например, $1+2+3+4=10$, а $10 = 4 \cdot 2 + 2$.
Ответ: Сумма четырёх последовательных натуральных чисел равна $4n+6$, или $4(n+1)+2$. При делении на 4 это выражение даёт остаток 2, следовательно, оно не кратно 4.

3) Выскажем аналогичное предположение о сумме пяти последовательных натуральных чисел и проверим, верно ли оно.
Предположение: сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5.
Проверим это предположение. Пусть первое из пяти последовательных натуральных чисел равно $n$, где $n \in \mathbb{N}$. Тогда следующие четыре числа будут $n+1, n+2, n+3$ и $n+4$.
Найдём их сумму $S_5$:
$S_5 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4)$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$S_5 = 5n + (1+2+3+4) = 5n + 10$
Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$S_5 = 5(n+2)$
Поскольку $n$ — натуральное число, то выражение $n+2$ также является натуральным числом. Сумма $S_5$ представляет собой произведение числа 5 и натурального числа $(n+2)$, а значит, она всегда кратна 5.
Например, $1+2+3+4+5=15$, и $15 = 5 \cdot 3$.
Предположение оказалось верным.
Ответ: Предположение о том, что сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5, верно. Их сумма равна $5n+10 = 5(n+2)$, что доказывает её кратность 5.