Номер 612, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Сложение и вычитание многочленов. Параграф 9. Сумм и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 612, страница 134.

Условие.

612. Представьте выражение в виде одночлена:

а) $(2x^2)^3 \cdot \frac{1}{4}x^2;$

б) $-0,2a^2b^3 \cdot (-5a^3b^2)^2;$

в) $(-3y^4)^3 \cdot \frac{1}{9}y^5;$

г) $(-0,5c^4d)^3 \cdot (-4c^2d^2)^2;$

д) $(-pq)^6 \cdot (6p^2q)^3;$

е) $(3mn)^4 \cdot (-3mn^2)^6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $(2x^2)^3 \cdot \frac{1}{4}x^2$

Сначала возведем первый множитель в степень, используя свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(2x^2)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = 8x^{2 \cdot 3} = 8x^6$

Теперь умножим полученный одночлен на второй множитель:

$8x^6 \cdot \frac{1}{4}x^2$

Перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(8 \cdot \frac{1}{4}) \cdot (x^6 \cdot x^2) = 2x^{6+2} = 2x^8$

Ответ: $2x^8$

б) $-0,2a^2b^3 \cdot (-5a^3b^2)^2$

Возведем второй множитель в квадрат:

$(-5a^3b^2)^2 = (-5)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 = 25a^{3 \cdot 2}b^{2 \cdot 2} = 25a^6b^4$

Теперь умножим первый одночлен на полученный результат:

$-0,2a^2b^3 \cdot 25a^6b^4$

Сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$(-0,2 \cdot 25) \cdot (a^2 \cdot a^6) \cdot (b^3 \cdot b^4) = -5a^{2+6}b^{3+4} = -5a^8b^7$

Ответ: $-5a^8b^7$

в) $(-3y^4)^3 \cdot \frac{1}{9}y^5$

Возведем первый множитель в куб:

$(-3y^4)^3 = (-3)^3 \cdot (y^4)^3 = -27y^{4 \cdot 3} = -27y^{12}$

Умножим полученный результат на второй множитель:

$-27y^{12} \cdot \frac{1}{9}y^5$

Перемножим коэффициенты и степени:

$(-27 \cdot \frac{1}{9}) \cdot (y^{12} \cdot y^5) = -3y^{12+5} = -3y^{17}$

Ответ: $-3y^{17}$

г) $(-0,5c^4d)^3 \cdot (-4c^2d^2)^2$

Возведем в степень каждый из множителей по отдельности.

Первый множитель:

$(-0,5c^4d)^3 = (-0,5)^3 \cdot (c^4)^3 \cdot d^3 = -0,125c^{12}d^3$

Второй множитель:

$(-4c^2d^2)^2 = (-4)^2 \cdot (c^2)^2 \cdot (d^2)^2 = 16c^4d^4$

Теперь перемножим полученные одночлены:

$(-0,125c^{12}d^3) \cdot (16c^4d^4)$

Сгруппируем и вычислим:

$(-0,125 \cdot 16) \cdot (c^{12} \cdot c^4) \cdot (d^3 \cdot d^4) = -2c^{12+4}d^{3+4} = -2c^{16}d^7$

Ответ: $-2c^{16}d^7$

д) $(-pq)^6 \cdot (6p^2q)^3$

Возведем в степень каждый множитель.

Первый множитель (степень четная, поэтому отрицательный знак исчезает):

$(-pq)^6 = (-1)^6 \cdot p^6 \cdot q^6 = p^6q^6$

Второй множитель:

$(6p^2q)^3 = 6^3 \cdot (p^2)^3 \cdot q^3 = 216p^6q^3$

Перемножим результаты:

$p^6q^6 \cdot 216p^6q^3$

Сгруппируем и вычислим:

$216 \cdot (p^6 \cdot p^6) \cdot (q^6 \cdot q^3) = 216p^{6+6}q^{6+3} = 216p^{12}q^9$

Ответ: $216p^{12}q^9$

е) $(3mn)^4 \cdot (-3mn^2)^6$

Возведем в степень каждый множитель.

Первый множитель:

$(3mn)^4 = 3^4 \cdot m^4 \cdot n^4 = 81m^4n^4$

Второй множитель (степень четная, поэтому отрицательный знак исчезает):

$(-3mn^2)^6 = (-3)^6 \cdot m^6 \cdot (n^2)^6 = 3^6m^6n^{12} = 729m^6n^{12}$

Перемножим результаты:

$(81m^4n^4) \cdot (729m^6n^{12})$

Сгруппируем и вычислим. Коэффициент можно представить как произведение степеней тройки: $81 \cdot 729 = 3^4 \cdot 3^6 = 3^{10} = 59049$.

$(81 \cdot 729) \cdot (m^4 \cdot m^6) \cdot (n^4 \cdot n^{12}) = 59049m^{4+6}n^{4+12} = 59049m^{10}n^{16}$

Ответ: $59049m^{10}n^{16}$