Номер 609, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Сложение и вычитание многочленов. Параграф 9. Сумм и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 609, страница 133.

Условие.

609. Известно, что при некоторых натуральных значениях $n$ значение выражения $n^3 + n$ кратно 30. Будет ли кратно 30 при тех же значениях $n$ значение выражения:

a) $n^3 + 31n$;

б) $n^3 - 29n$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

По условию задачи нам известно, что для некоторых натуральных чисел $n$ выражение $n^3 + n$ делится нацело на $30$. Это можно записать как $n^3 + n = 30k$, где $k$ — некоторое целое число. Нам нужно проверить, будет ли при тех же значениях $n$ делиться на $30$ значение выражений из пунктов а) и б).

а) $n^3 + 31n$
Преобразуем данное выражение, выделив в нем известное нам выражение $n^3 + n$. Для этого представим $31n$ в виде суммы $n + 30n$:
$n^3 + 31n = n^3 + n + 30n$
Сгруппируем слагаемые:
$n^3 + 31n = (n^3 + n) + 30n$
Мы получили сумму двух слагаемых. Первое слагаемое, $(n^3 + n)$, по условию задачи кратно $30$. Второе слагаемое, $30n$, также кратно $30$, так как один из его множителей равен $30$.
Сумма двух выражений, каждое из которых делится на $30$, также делится на $30$.
Таким образом, $n^3 + 31n$ кратно $30$.
Ответ: да, будет кратно 30.

б) $n^3 - 29n$
Поступим аналогично, преобразовав выражение $n^3 - 29n$. Представим $-29n$ в виде разности $n - 30n$:
$n^3 - 29n = n^3 + n - 30n$
Сгруппируем слагаемые:
$n^3 - 29n = (n^3 + n) - 30n$
Мы получили разность двух слагаемых. Уменьшаемое, $(n^3 + n)$, по условию задачи кратно $30$. Вычитаемое, $30n$, также кратно $30$.
Разность двух выражений, каждое из которых делится на $30$, также делится на $30$.
Таким образом, $n^3 - 29n$ кратно $30$.
Ответ: да, будет кратно 30.