Страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

604. Пусть $x = 5a^2 + 6ab - b^2$, $y = -4a^2 + 2ab + 3b^2$, $z = 9a^2 + 4ab$.

Подставьте эти многочлены вместо $x$, $y$ и $z$ в данное выражение и упростите его:

a) $x + y + z$

б) $x - y - z$

Даны многочлены: $x = 5a^2 + 6ab - b^2$, $y = -4a^2 + 2ab + 3b^2$, $z = 9a^2 + 4ab$.

а)

Подставим данные многочлены в выражение $x + y + z$ и упростим его. Сначала запишем сумму многочленов в скобках:

$x + y + z = (5a^2 + 6ab - b^2) + (-4a^2 + 2ab + 3b^2) + (9a^2 + 4ab)$

Теперь раскроем скобки. Так как все многочлены складываются, знаки слагаемых не меняются:

$5a^2 + 6ab - b^2 - 4a^2 + 2ab + 3b^2 + 9a^2 + 4ab$

Сгруппируем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью) и выполним действия с их коэффициентами:

$(5a^2 - 4a^2 + 9a^2) + (6ab + 2ab + 4ab) + (-b^2 + 3b^2)$

Вычислим сумму для каждой группы:

$(5 - 4 + 9)a^2 + (6 + 2 + 4)ab + (-1 + 3)b^2 = 10a^2 + 12ab + 2b^2$

Ответ: $10a^2 + 12ab + 2b^2$

б)

Подставим данные многочлены в выражение $x - y - z$ и упростим его:

$x - y - z = (5a^2 + 6ab - b^2) - (-4a^2 + 2ab + 3b^2) - (9a^2 + 4ab)$

Раскроем скобки. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$5a^2 + 6ab - b^2 + 4a^2 - 2ab - 3b^2 - 9a^2 - 4ab$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(5a^2 + 4a^2 - 9a^2) + (6ab - 2ab - 4ab) + (-b^2 - 3b^2)$

Вычислим сумму для каждой группы:

$(5 + 4 - 9)a^2 + (6 - 2 - 4)ab + (-1 - 3)b^2 = 0 \cdot a^2 + 0 \cdot ab - 4b^2 = -4b^2$

Ответ: $-4b^2$

607. Представьте выражение в виде суммы каких-нибудь двучленов:

а) $3x^3 - 2x^2 - x + 4;$

б) $-5y^4 + 4y^3 + 3y^2 - 2y.$

Задача состоит в том, чтобы представить многочлен в виде суммы двучленов. Двучлен — это многочлен, который состоит из двух членов. Данные выражения имеют по четыре члена, поэтому для решения задачи нужно сгруппировать их попарно. Так как в условии указано представить в виде суммы каких-нибудь двучленов, существует несколько вариантов правильного ответа. Мы рассмотрим один из самых простых способов — группировку соседних членов.

а) Дано выражение $3x^3 - 2x^2 - x + 4$.
Сгруппируем первые два члена и последние два члена.
Первый двучлен: $(3x^3 - 2x^2)$.
Второй двучлен: $(-x + 4)$.
Теперь запишем исходное выражение в виде суммы этих двучленов:
$(3x^3 - 2x^2) + (-x + 4)$.
Если раскрыть скобки, мы получим исходное выражение: $3x^3 - 2x^2 - x + 4$, что подтверждает правильность группировки.
Ответ: $(3x^3 - 2x^2) + (-x + 4)$.

б) Дано выражение $-5y^4 + 4y^3 + 3y^2 - 2y$.
Аналогично предыдущему пункту, сгруппируем соседние члены попарно.
Первый двучлен: $(-5y^4 + 4y^3)$.
Второй двучлен: $(3y^2 - 2y)$.
Запишем исходное выражение как сумму полученных двучленов:
$(-5y^4 + 4y^3) + (3y^2 - 2y)$.
При раскрытии скобок мы получаем исходное выражение: $-5y^4 + 4y^3 + 3y^2 - 2y$.
Ответ: $(-5y^4 + 4y^3) + (3y^2 - 2y)$.

610. (Для работы в парах.) Докажите, что сумма:

а) трёх последовательных натуральных чисел кратна 3;

б) четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения преобразований.

3) Выскажите аналогичное предположение о сумме пяти последовательных натуральных чисел и проверьте, верно ли оно.

а) Докажем, что сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3.
Пусть первое из трёх последовательных натуральных чисел равно $n$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Тогда следующие два числа будут $n+1$ и $n+2$.
Найдём их сумму $S_3$:
$S_3 = n + (n+1) + (n+2)$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$S_3 = 3n + 3$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$S_3 = 3(n+1)$
Поскольку $n$ — натуральное число, то выражение $n+1$ также является натуральным числом. Сумма $S_3$ представляет собой произведение числа 3 и натурального числа $(n+1)$, а значит, она всегда кратна 3.
Например, $4+5+6 = 15$, и $15 = 3 \cdot 5$.
Ответ: Сумма трёх последовательных натуральных чисел $n, n+1, n+2$ равна $3(n+1)$, что доказывает её кратность 3.

б) Докажем, что сумма четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4.
Пусть первое из четырёх последовательных натуральных чисел равно $n$, где $n \in \mathbb{N}$. Тогда следующие три числа будут $n+1$, $n+2$ и $n+3$.
Найдём их сумму $S_4$:
$S_4 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3)$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$S_4 = 4n + 6$
Чтобы проверить, кратна ли эта сумма 4, представим её в виде $4n+4+2$.
$S_4 = 4(n+1) + 2$
Выражение $4(n+1)$ делится на 4 без остатка. Следовательно, вся сумма $S_4$ при делении на 4 даёт остаток 2. Число, которое даёт остаток 2 при делении на 4, не может быть кратно 4.
Например, $1+2+3+4=10$, а $10 = 4 \cdot 2 + 2$.
Ответ: Сумма четырёх последовательных натуральных чисел равна $4n+6$, или $4(n+1)+2$. При делении на 4 это выражение даёт остаток 2, следовательно, оно не кратно 4.

3) Выскажем аналогичное предположение о сумме пяти последовательных натуральных чисел и проверим, верно ли оно.
Предположение: сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5.
Проверим это предположение. Пусть первое из пяти последовательных натуральных чисел равно $n$, где $n \in \mathbb{N}$. Тогда следующие четыре числа будут $n+1, n+2, n+3$ и $n+4$.
Найдём их сумму $S_5$:
$S_5 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4)$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$S_5 = 5n + (1+2+3+4) = 5n + 10$
Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$S_5 = 5(n+2)$
Поскольку $n$ — натуральное число, то выражение $n+2$ также является натуральным числом. Сумма $S_5$ представляет собой произведение числа 5 и натурального числа $(n+2)$, а значит, она всегда кратна 5.
Например, $1+2+3+4+5=15$, и $15 = 5 \cdot 3$.
Предположение оказалось верным.
Ответ: Предположение о том, что сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5, верно. Их сумма равна $5n+10 = 5(n+2)$, что доказывает её кратность 5.

602. Докажите, что не зависит от x значение выражения

$(\frac{3}{5}x^2 - 0,4xy - 1,5y + 1) - (y^2 - \frac{2}{5}xy + 0,6x^2)$

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $x$, нужно его упростить. Если в результате преобразований все слагаемые, содержащие переменную $x$, взаимно уничтожатся, то утверждение будет доказано.

Дано выражение:

Первым шагом раскроем скобки. Знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

Для удобства дальнейших вычислений приведем все коэффициенты к одному виду — десятичным дробям. Мы знаем, что $\frac{3}{5} = 0,6$ и $\frac{2}{5} = 0,4$. Подставим эти значения в выражение:

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$, с $xy$, с $y^2$, с $y$ и свободные члены:

Выполним вычисления в скобках:

В результате упрощения получаем:

Итоговое выражение $ -y^2 - 1,5y + 1 $ не содержит переменную $x$. Следовательно, значение исходного выражения не зависит от значения $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: после упрощения выражение принимает вид $ -y^2 - 1,5y + 1 $, который не зависит от переменной $x$.

605. Решите уравнение:

a) $(23 + 3x) + (8x - 41) = 15;$

б) $(19 + 2x) - (5x - 11) = 25;$

в) $(3.2y - 1.8) - (5.2y + 3.4) = -5.8;$

г) $1 - (0.5x - 15.8) = 12.8 - 0.7x;$

д) $3.8 - 1.5y + (4.5y - 0.8) = 2.4y + 3;$

е) $4.2y + 0.8 = 6.2y - (1.1y + 0.8) + 1.2;$

а) $(23 + 3x) + (8x - 41) = 15$

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки внутри скобок не меняются:

$23 + 3x + 8x - 41 = 15$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения (слагаемые с $x$ и числовые слагаемые):

$(3x + 8x) + (23 - 41) = 15$

$11x - 18 = 15$

Перенесем число $-18$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$11x = 15 + 18$

$11x = 33$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 11:

$x = \frac{33}{11}$

$x = 3$

Ответ: $3$.

б) $(19 + 2x) - (5x - 11) = 25$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$19 + 2x - 5x + 11 = 25$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(2x - 5x) + (19 + 11) = 25$

$-3x + 30 = 25$

Перенесем число $30$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-3x = 25 - 30$

$-3x = -5$

Разделим обе части уравнения на $-3$:

$x = \frac{-5}{-3}$

$x = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$.

в) $(3,2y - 1,8) - (5,2y + 3,4) = -5,8$

Раскроем скобки, меняя знаки во второй скобке на противоположные:

$3,2y - 1,8 - 5,2y - 3,4 = -5,8$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(3,2y - 5,2y) + (-1,8 - 3,4) = -5,8$

$-2y - 5,2 = -5,8$

Перенесем $-5,2$ в правую часть с противоположным знаком:

$-2y = -5,8 + 5,2$

$-2y = -0,6$

Разделим обе части на $-2$:

$y = \frac{-0,6}{-2}$

$y = 0,3$

Ответ: $0,3$.

г) $1 - (0,5x - 15,8) = 12,8 - 0,7x$

Раскроем скобки в левой части, поменяв знаки внутри на противоположные:

$1 - 0,5x + 15,8 = 12,8 - 0,7x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$16,8 - 0,5x = 12,8 - 0,7x$

Соберем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые слагаемые — в правой (при переносе через знак равенства меняем знак):

$-0,5x + 0,7x = 12,8 - 16,8$

$0,2x = -4$

Разделим обе части на $0,2$:

$x = \frac{-4}{0,2}$

$x = -20$

Ответ: $-20$.

д) $3,8 - 1,5y + (4,5y - 0,8) = 2,4y + 3$

Раскроем скобки в левой части:

$3,8 - 1,5y + 4,5y - 0,8 = 2,4y + 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(-1,5y + 4,5y) + (3,8 - 0,8) = 2,4y + 3$

$3y + 3 = 2,4y + 3$

Соберем слагаемые с переменной $y$ в левой части, а числовые — в правой:

$3y - 2,4y = 3 - 3$

$0,6y = 0$

Разделим обе части на $0,6$:

$y = \frac{0}{0,6}$

$y = 0$

Ответ: $0$.

е) $4,2y + 0,8 = 6,2y - (1,1y + 0,8) + 1,2$

Раскроем скобки в правой части:

$4,2y + 0,8 = 6,2y - 1,1y - 0,8 + 1,2$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$4,2y + 0,8 = (6,2y - 1,1y) + (-0,8 + 1,2)$

$4,2y + 0,8 = 5,1y + 0,4$

Соберем слагаемые с переменной $y$ в правой части, а числовые — в левой:

$0,8 - 0,4 = 5,1y - 4,2y$

$0,4 = 0,9y$

Выразим $y$:

$y = \frac{0,4}{0,9}$

$y = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$.

608. Представьте выражение каким-либо способом в виде разности одночлена и трёхчлена:

а) $x^3 + 2x^2 - 3x - 5$;

б) $3a^4 + 2a^3 + 5a^2 - 4$.

а) Чтобы представить выражение $x^3 + 2x^2 - 3x - 5$ в виде разности одночлена и трёхчлена, необходимо выбрать один из его членов в качестве одночлена, а остальные три сгруппировать, вынеся за скобку знак минус. Выберем в качестве одночлена $x^3$.
$x^3 + 2x^2 - 3x - 5 = x^3 + (2x^2 - 3x - 5)$.
Теперь вынесем знак минус за скобку, изменив знаки слагаемых в скобках на противоположные:
$x^3 - (-2x^2 + 3x + 5)$.
Таким образом, мы представили исходное выражение как разность одночлена $x^3$ и трёхчлена $(-2x^2 + 3x + 5)$.
Ответ: $x^3 - (-2x^2 + 3x + 5)$.

б) Аналогично поступим с выражением $3a^4 + 2a^3 + 5a^2 - 4$. Выберем в качестве одночлена $3a^4$ и сгруппируем остальные члены.
$3a^4 + 2a^3 + 5a^2 - 4 = 3a^4 + (2a^3 + 5a^2 - 4)$.
Вынесем знак минус за скобку:
$3a^4 - (-2a^3 - 5a^2 + 4)$.
Это и есть искомое представление в виде разности одночлена $3a^4$ и трёхчлена $(-2a^3 - 5a^2 + 4)$.
Ответ: $3a^4 - (-2a^3 - 5a^2 + 4)$.

603. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

a) $1.7 - 10b^2 - (1 - 3b^2) + (2.3 + 7b^2)$;

б) $1 - b^2 - (3b - 2b^2) + (1 + 3b - b^2)$.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо его упростить. Если в результате упрощения переменная исчезнет (сократится), то утверждение доказано.

Рассмотрим выражение: $1,7 - 10b^2 - (1 - 3b^2) + (2,3 + 7b^2)$.

Сначала раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри неё меняются на противоположные. Если стоит «плюс» — знаки не меняются.

$1,7 - 10b^2 - 1 + 3b^2 + 2,3 + 7b^2$

Теперь сгруппируем и приведём подобные слагаемые: сгруппируем константы и слагаемые, содержащие $b^2$.

$(1,7 - 1 + 2,3) + (-10b^2 + 3b^2 + 7b^2)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$1,7 - 1 + 2,3 = 0,7 + 2,3 = 3$

$-10b^2 + 3b^2 + 7b^2 = (-10 + 3 + 7)b^2 = 0 \cdot b^2 = 0$

В результате получаем: $3 + 0 = 3$.

Поскольку значение выражения равно 3 (константа) и не содержит переменную $b$, оно не зависит от значения этой переменной.

Ответ: 3.

б) Упростим второе выражение: $1 - b^2 - (3b - 2b^2) + (1 + 3b - b^2)$.

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых в первой скобке и сохраняя во второй.

$1 - b^2 - 3b + 2b^2 + 1 + 3b - b^2$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые: константы, слагаемые с $b$ и слагаемые с $b^2$.

$(1 + 1) + (-3b + 3b) + (-b^2 + 2b^2 - b^2)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$1 + 1 = 2$

$-3b + 3b = 0$

$-b^2 + 2b^2 - b^2 = (-1 + 2 - 1)b^2 = 0 \cdot b^2 = 0$

В результате получаем: $2 + 0 + 0 = 2$.

Поскольку значение выражения равно 2 (константа) и не содержит переменную $b$, оно не зависит от значения этой переменной.

Ответ: 2.

606. Решите уравнение:

а) $8y - 3 - (5 - 2y) = 4.3;$

б) $0.5y - 1 - (2y + 4) = y;$

в) $-8x + (4 + 3x) = 10 - x;$

г) $1.3x - 2 - (3.3x + 5) = 2x + 1.$

а) $8y - 3 - (5 - 2y) = 4,3$
Сначала раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, мы меняем знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные.
$8y - 3 - 5 + 2y = 4,3$
Теперь сгруппируем и сложим подобные слагаемые в левой части уравнения: слагаемые с переменной $y$ и свободные члены (числа).
$(8y + 2y) + (-3 - 5) = 4,3$
$10y - 8 = 4,3$
Перенесем число -8 из левой части в правую, изменив его знак на плюс.
$10y = 4,3 + 8$
$10y = 12,3$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 10.
$y = \frac{12,3}{10}$
$y = 1,23$
Ответ: $1,23$.

б) $0,5y - 1 - (2y + 4) = y$
Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них.
$0,5y - 1 - 2y - 4 = y$
Приведем подобные слагаемые в левой части.
$(0,5y - 2y) + (-1 - 4) = y$
$-1,5y - 5 = y$
Теперь соберем все слагаемые с переменной $y$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Перенесем $-1,5y$ в правую часть.
$-5 = y + 1,5y$
$-5 = 2,5y$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 2,5.
$y = \frac{-5}{2,5}$
$y = -2$
Ответ: $-2$.

в) $-8x + (4 + 3x) = 10 - x$
Раскроем скобки. Так как перед ними стоит знак плюс, знаки внутри не меняются.
$-8x + 4 + 3x = 10 - x$
Приведем подобные слагаемые в левой части.
$(-8x + 3x) + 4 = 10 - x$
$-5x + 4 = 10 - x$
Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя их знаки при переносе.
$-5x + x = 10 - 4$
Сложим подобные слагаемые в обеих частях.
$-4x = 6$
Разделим обе части уравнения на -4, чтобы найти $x$.
$x = \frac{6}{-4}$
$x = -1,5$
Ответ: $-1,5$.

г) $1,3x - 2 - (3,3x + 5) = 2x + 1$
Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри них на противоположные.
$1,3x - 2 - 3,3x - 5 = 2x + 1$
Приведем подобные слагаемые в левой части.
$(1,3x - 3,3x) + (-2 - 5) = 2x + 1$
$-2x - 7 = 2x + 1$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую.
$-7 - 1 = 2x + 2x$
Сложим подобные слагаемые в обеих частях.
$-8 = 4x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4.
$x = \frac{-8}{4}$
$x = -2$
Ответ: $-2$.

609. Известно, что при некоторых натуральных значениях $n$ значение выражения $n^3 + n$ кратно 30. Будет ли кратно 30 при тех же значениях $n$ значение выражения:

a) $n^3 + 31n$;

б) $n^3 - 29n$?

По условию задачи нам известно, что для некоторых натуральных чисел $n$ выражение $n^3 + n$ делится нацело на $30$. Это можно записать как $n^3 + n = 30k$, где $k$ — некоторое целое число. Нам нужно проверить, будет ли при тех же значениях $n$ делиться на $30$ значение выражений из пунктов а) и б).

а) $n^3 + 31n$
Преобразуем данное выражение, выделив в нем известное нам выражение $n^3 + n$. Для этого представим $31n$ в виде суммы $n + 30n$:
$n^3 + 31n = n^3 + n + 30n$
Сгруппируем слагаемые:
$n^3 + 31n = (n^3 + n) + 30n$
Мы получили сумму двух слагаемых. Первое слагаемое, $(n^3 + n)$, по условию задачи кратно $30$. Второе слагаемое, $30n$, также кратно $30$, так как один из его множителей равен $30$.
Сумма двух выражений, каждое из которых делится на $30$, также делится на $30$.
Таким образом, $n^3 + 31n$ кратно $30$.
Ответ: да, будет кратно 30.

б) $n^3 - 29n$
Поступим аналогично, преобразовав выражение $n^3 - 29n$. Представим $-29n$ в виде разности $n - 30n$:
$n^3 - 29n = n^3 + n - 30n$
Сгруппируем слагаемые:
$n^3 - 29n = (n^3 + n) - 30n$
Мы получили разность двух слагаемых. Уменьшаемое, $(n^3 + n)$, по условию задачи кратно $30$. Вычитаемое, $30n$, также кратно $30$.
Разность двух выражений, каждое из которых делится на $30$, также делится на $30$.
Таким образом, $n^3 - 29n$ кратно $30$.
Ответ: да, будет кратно 30.