Страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

565. Расположите в порядке возрастания числа $a$, $a^2$ и $a^3$, если:

a) $0 < a < 1$;

б) $a > 1$;

в) $-1 < a < 0$;

г) $a < -1$.

а) $0 < a < 1$

В этом случае число $a$ является положительной правильной дробью. При возведении такого числа в степень основание, которое меньше 1, результат уменьшается.
Рассмотрим сравнение $a$ и $a^2$. Так как $0 < a < 1$, умножим неравенство $a < 1$ на положительное число $a$. Знак неравенства сохранится: $a \cdot a < 1 \cdot a$, то есть $a^2 < a$.
Теперь сравним $a^2$ и $a^3$. Умножим неравенство $a < 1$ на положительное число $a^2$. Знак неравенства также сохранится: $a \cdot a^2 < 1 \cdot a^2$, то есть $a^3 < a^2$.
Таким образом, мы получили цепочку неравенств: $a^3 < a^2 < a$.
Пример: если $a = 0.5$, то $a^2 = 0.25$, $a^3 = 0.125$. Порядок возрастания: $0.125, 0.25, 0.5$, что соответствует $a^3, a^2, a$.

Ответ: $a^3, a^2, a$.

б) $a > 1$

В этом случае число $a$ больше единицы. При возведении такого числа в степень основание, которое больше 1, результат увеличивается.
Сравним $a$ и $a^2$. Так как $a > 1$, умножим это неравенство на положительное число $a$. Знак неравенства сохранится: $a \cdot a > 1 \cdot a$, то есть $a^2 > a$.
Теперь сравним $a^2$ и $a^3$. Умножим неравенство $a > 1$ на положительное число $a^2$. Знак неравенства сохранится: $a \cdot a^2 > 1 \cdot a^2$, то есть $a^3 > a^2$.
Таким образом, мы получили цепочку неравенств: $a < a^2 < a^3$.
Пример: если $a = 2$, то $a^2 = 4$, $a^3 = 8$. Порядок возрастания: $2, 4, 8$, что соответствует $a, a^2, a^3$.

Ответ: $a, a^2, a^3$.

в) $-1 < a < 0$

В этом случае $a$ — отрицательное число, модуль которого меньше единицы.
$a$ — отрицательное число.
$a^2$ — положительное число (квадрат отрицательного числа).
$a^3$ — отрицательное число (куб отрицательного числа).
Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $a^2$ будет самым большим числом.
Осталось сравнить два отрицательных числа: $a$ и $a^3$. Для этого можно рассмотреть неравенство $-1 < a < 0$. Возведя его в квадрат, получим $1 > a^2 > 0$ (знаки поменялись, так как мы возводим в квадрат отрицательные числа). Умножим неравенство $a^2 < 1$ на отрицательное число $a$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $a^2 \cdot a > 1 \cdot a$, что дает $a^3 > a$.
Таким образом, получаем порядок: $a < a^3 < a^2$.
Пример: если $a = -0.5$, то $a^2 = 0.25$, $a^3 = -0.125$. Порядок возрастания: $-0.5, -0.125, 0.25$, что соответствует $a, a^3, a^2$.

Ответ: $a, a^3, a^2$.

г) $a < -1$

В этом случае $a$ — отрицательное число, модуль которого больше единицы.
$a$ — отрицательное число.
$a^2$ — положительное число.
$a^3$ — отрицательное число.
Снова $a^2$ будет самым большим числом, так как оно положительное.
Сравним отрицательные числа $a$ и $a^3$. Из условия $a < -1$ следует, что $a^2 > 1$. Умножим это неравенство на отрицательное число $a$. Знак неравенства меняется на противоположный: $a \cdot a^2 < a \cdot 1$, что дает $a^3 < a$.
Таким образом, получаем порядок: $a^3 < a < a^2$.
Пример: если $a = -2$, то $a^2 = 4$, $a^3 = -8$. Порядок возрастания: $-8, -2, 4$, что соответствует $a^3, a, a^2$.

Ответ: $a^3, a, a^2$.

563. a) Известно, что точка $P(-4; b)$ принадлежит графику функции, заданной формулой $y = x^2$. Найдите значение $b$. Принадлежит ли графику этой функции точка $Q(4; b)$?

б) Известно, что точка $A(-4; a)$ принадлежит графику функции, заданной формулой $y = x^3$. Найдите значение $a$. Принадлежит ли графику этой функции точка $B(-4; -a)$?

а) Поскольку точка $P(-4; b)$ принадлежит графику функции $y = x^2$, её координаты удовлетворяют уравнению этой функции. Подставим абсциссу $x = -4$ в уравнение, чтобы найти ординату $b$:

$b = (-4)^2$

$b = 16$

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли точка $Q(4; b)$ графику функции. Мы нашли, что $b=16$, значит, координаты точки $Q$ равны $(4; 16)$. Подставим эти координаты в уравнение функции $y = x^2$:

$16 = 4^2$

$16 = 16$

Так как получилось верное равенство, точка $Q(4; 16)$ принадлежит графику функции.

Ответ: $b = 16$; да, точка Q принадлежит графику.

б) Поскольку точка $A(-4; a)$ принадлежит графику функции $y = x^3$, её координаты удовлетворяют уравнению этой функции. Подставим абсциссу $x = -4$ в уравнение, чтобы найти ординату $a$:

$a = (-4)^3$

$a = -64$

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли точка $B(-4; -a)$ графику функции. Мы нашли, что $a=-64$, значит, ордината точки $B$ равна $-a = -(-64) = 64$. Координаты точки $B$ равны $(-4; 64)$. Подставим эти координаты в уравнение функции $y = x^3$:

$64 = (-4)^3$

$64 = -64$

Так как получилось неверное равенство ($64 \neq -64$), точка $B(-4; -a)$ не принадлежит графику функции.

Ответ: $a = -64$; нет, точка B не принадлежит графику.

566. Решите графически уравнение:

а) $x^2 = 2 - x$;

б) $x^2 = 8$;

в) $x^3 = 6$;

г) $x^3 = -x + 4.$

а) $x^2 = 2 - x$

Чтобы решить уравнение графически, представим его в виде равенства двух функций. В левой части уравнения стоит функция $y = x^2$, а в правой — $y = 2 - x$. Решениями исходного уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков этих двух функций.

Построим графики функций $y = x^2$ и $y = 2 - x$ в одной системе координат.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх. Для построения возьмем несколько точек: (0, 0), (1, 1), (-1, 1), (2, 4), (-2, 4).

2. График функции $y = 2 - x$ — это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:

• при $x=0$, $y=2$. Точка (0, 2).
• при $y=0$, $x=2$. Точка (2, 0).

Проведем прямую через эти две точки.

Начертив оба графика, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Найдем их координаты. Из графика видно, что точки пересечения — это A(-2, 4) и B(1, 1).

Проверим:

• Для точки A(-2, 4): $y = (-2)^2 = 4$ и $y = 2 - (-2) = 4$. Верно.
• Для точки B(1, 1): $y = 1^2 = 1$ и $y = 2 - 1 = 1$. Верно.

Абсциссы этих точек, $x = -2$ и $x = 1$, являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$.

б) $x^2 = 8$

Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = 8$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения их графиков.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0).

2. График функции $y = 8$ — это прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0, 8).

Построим эти графики в одной системе координат. Парабола и горизонтальная прямая пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси ординат.

Ордината ($y$) точек пересечения равна 8. Абсциссы ($x$) этих точек — это значения $x$, для которых $x^2 = 8$. Эти значения равны $\sqrt{8}$ и $-\sqrt{8}$.

Упростим корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Таким образом, абсциссы точек пересечения равны $2\sqrt{2}$ и $-2\sqrt{2}$. Это и есть решения уравнения.

Ответ: $x_1 = - \sqrt{8}$, $x_2 = \sqrt{8}$ (или $x_1 = -2\sqrt{2}$, $x_2 = 2\sqrt{2}$).

в) $x^3 = 6$

Для графического решения уравнения построим графики двух функций: $y = x^3$ и $y = 6$.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат (0, 0) и симметричная относительно него. Возьмем точки для построения: (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8).

2. График функции $y = 6$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, 6).

Построив графики, мы увидим, что они пересекаются только в одной точке. Ордината этой точки равна 6. Абсцисса точки пересечения является решением уравнения.

Из уравнения $x^3 = 6$ следует, что $x = \sqrt[3]{6}$. Так как $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$, то значение корня находится между 1 и 2.

Графики пересекаются в одной точке с абсциссой $x = \sqrt[3]{6}$.

Ответ: $x = \sqrt[3]{6}$.

г) $x^3 = -x + 4$

Решим уравнение графически, построив графики функций $y = x^3$ и $y = -x + 4$.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, как и в предыдущем задании.

2. График функции $y = -x + 4$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=0$, $y=4$. Точка (0, 4).
• при $y=0$, $x=4$. Точка (4, 0).

Проведем прямую через эти точки.

Начертим оба графика в одной системе координат. Функция $y = x^3$ является возрастающей на всей своей области определения. Функция $y = -x + 4$ является убывающей. Это означает, что их графики могут пересечься не более чем в одной точке.

Из графика видно, что пересечение действительно одно. Оно происходит в первой координатной четверти. Абсцисса этой точки находится между $x=1$ (где $1^3=1$, а $-1+4=3$) и $x=2$ (где $2^3=8$, а $-2+4=2$).

Так как найти точное значение корня аналитически сложно, а графический метод дает приблизительное значение, мы можем заключить, что уравнение имеет один корень. Этот корень — абсцисса точки пересечения построенных графиков.

Ответ: Уравнение имеет один корень, который является абсциссой точки пересечения графиков функций $y=x^3$ и $y=-x+4$.

564. Точка $A(a; b)$ принадлежит графику функции:

а) $y = x^2$;

б) $y = x^3$.

Принадлежат ли этому графику точки $B(-a; b)$, $C(a; -b)$, $D(-a; -b)$?

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение функции. Если в результате получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

По условию, точка $A(a; b)$ принадлежит графику, что означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению функции.

а) $y = x^2$

Раз точка $A(a; b)$ принадлежит графику функции $y = x^2$, то выполняется равенство: $b = a^2$. Будем использовать это соотношение для проверки других точек.

• Проверим точку $B(-a; b)$.
  Подставим ее координаты в уравнение функции. Вместо $x$ подставляем $-a$, вместо $y$ подставляем $b$:
  $b = (-a)^2$
  $b = a^2$
  Это равенство является верным согласно условию. Следовательно, точка $B$ принадлежит графику функции.

• Проверим точку $C(a; -b)$.
  Подставим ее координаты в уравнение: $-b = a^2$.
  Мы знаем, что $b = a^2$. Подставив это в наше проверяемое равенство, получим: $-b = b$.
  Это равенство верно только если $b=0$ (что означает, что и $a=0$). В общем случае (при $b \ne 0$) равенство неверно. Следовательно, точка $C$ не принадлежит графику (за исключением случая, когда A - начало координат).

• Проверим точку $D(-a; -b)$.
  Подставим ее координаты в уравнение: $-b = (-a)^2$.
  $-b = a^2$
  Аналогично предыдущему пункту, подставив $b = a^2$, получим $-b = b$, что верно только при $b=0$. Следовательно, точка $D$ не принадлежит графику (за исключением случая, когда A - начало координат).

Это объясняется тем, что функция $y=x^2$ является четной ($f(-x) = f(x)$), и ее график симметричен относительно оси Oy.

Ответ: графику функции $y=x^2$ принадлежит точка $B(-a; b)$; точки $C(a; -b)$ и $D(-a; -b)$ не принадлежат (за исключением случая $a=b=0$).

б) $y = x^3$

Раз точка $A(a; b)$ принадлежит графику функции $y = x^3$, то выполняется равенство: $b = a^3$. Будем использовать это соотношение для проверки других точек.

• Проверим точку $B(-a; b)$.
  Подставим ее координаты в уравнение: $b = (-a)^3$.
  $b = -a^3$
  Из условия мы знаем, что $b = a^3$. Подставив это в наше проверяемое равенство, получим: $b = -b$.
  Это равенство верно только если $b=0$ (и, соответственно, $a=0$). В общем случае точка $B$ не принадлежит графику.

• Проверим точку $C(a; -b)$.
  Подставим ее координаты в уравнение: $-b = a^3$.
  Мы знаем, что $b = a^3$. Подставив это, получим: $-b = b$.
  Это равенство верно только при $b=0$. В общем случае точка $C$ не принадлежит графику.

• Проверим точку $D(-a; -b)$.
  Подставим ее координаты в уравнение: $-b = (-a)^3$.
  $-b = -a^3$
  Умножив обе части на -1, получим $b = a^3$.
  Это равенство является верным согласно условию. Следовательно, точка $D$ принадлежит графику функции.

Это объясняется тем, что функция $y=x^3$ является нечетной ($f(-x) = -f(x)$), и ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: графику функции $y=x^3$ принадлежит точка $D(-a; -b)$; точки $B(-a; b)$ и $C(a; -b)$ не принадлежат (за исключением случая $a=b=0$).