Номер 566, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 566, страница 126.

Условие.

566. Решите графически уравнение:

а) $x^2 = 2 - x$;

б) $x^2 = 8$;

в) $x^3 = 6$;

г) $x^3 = -x + 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^2 = 2 - x$

Чтобы решить уравнение графически, представим его в виде равенства двух функций. В левой части уравнения стоит функция $y = x^2$, а в правой — $y = 2 - x$. Решениями исходного уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков этих двух функций.

Построим графики функций $y = x^2$ и $y = 2 - x$ в одной системе координат.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх. Для построения возьмем несколько точек: (0, 0), (1, 1), (-1, 1), (2, 4), (-2, 4).

2. График функции $y = 2 - x$ — это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:

• при $x=0$, $y=2$. Точка (0, 2).
• при $y=0$, $x=2$. Точка (2, 0).

Проведем прямую через эти две точки.

Начертив оба графика, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Найдем их координаты. Из графика видно, что точки пересечения — это A(-2, 4) и B(1, 1).

Проверим:

• Для точки A(-2, 4): $y = (-2)^2 = 4$ и $y = 2 - (-2) = 4$. Верно.
• Для точки B(1, 1): $y = 1^2 = 1$ и $y = 2 - 1 = 1$. Верно.

Абсциссы этих точек, $x = -2$ и $x = 1$, являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$.

б) $x^2 = 8$

Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = 8$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения их графиков.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0).

2. График функции $y = 8$ — это прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0, 8).

Построим эти графики в одной системе координат. Парабола и горизонтальная прямая пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси ординат.

Ордината ($y$) точек пересечения равна 8. Абсциссы ($x$) этих точек — это значения $x$, для которых $x^2 = 8$. Эти значения равны $\sqrt{8}$ и $-\sqrt{8}$.

Упростим корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Таким образом, абсциссы точек пересечения равны $2\sqrt{2}$ и $-2\sqrt{2}$. Это и есть решения уравнения.

Ответ: $x_1 = - \sqrt{8}$, $x_2 = \sqrt{8}$ (или $x_1 = -2\sqrt{2}$, $x_2 = 2\sqrt{2}$).

в) $x^3 = 6$

Для графического решения уравнения построим графики двух функций: $y = x^3$ и $y = 6$.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат (0, 0) и симметричная относительно него. Возьмем точки для построения: (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8).

2. График функции $y = 6$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, 6).

Построив графики, мы увидим, что они пересекаются только в одной точке. Ордината этой точки равна 6. Абсцисса точки пересечения является решением уравнения.

Из уравнения $x^3 = 6$ следует, что $x = \sqrt[3]{6}$. Так как $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$, то значение корня находится между 1 и 2.

Графики пересекаются в одной точке с абсциссой $x = \sqrt[3]{6}$.

Ответ: $x = \sqrt[3]{6}$.

г) $x^3 = -x + 4$

Решим уравнение графически, построив графики функций $y = x^3$ и $y = -x + 4$.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, как и в предыдущем задании.

2. График функции $y = -x + 4$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=0$, $y=4$. Точка (0, 4).
• при $y=0$, $x=4$. Точка (4, 0).

Проведем прямую через эти точки.

Начертим оба графика в одной системе координат. Функция $y = x^3$ является возрастающей на всей своей области определения. Функция $y = -x + 4$ является убывающей. Это означает, что их графики могут пересечься не более чем в одной точке.

Из графика видно, что пересечение действительно одно. Оно происходит в первой координатной четверти. Абсцисса этой точки находится между $x=1$ (где $1^3=1$, а $-1+4=3$) и $x=2$ (где $2^3=8$, а $-2+4=2$).

Так как найти точное значение корня аналитически сложно, а графический метод дает приблизительное значение, мы можем заключить, что уравнение имеет один корень. Этот корень — абсцисса точки пересечения построенных графиков.

Ответ: Уравнение имеет один корень, который является абсциссой точки пересечения графиков функций $y=x^3$ и $y=-x+4$.