Страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

544. Представьте выражение в виде $3^n$ или $-3^n$:

а) $(-3^3)^2;$

б) $(-3^2)^3;$

в) $-(3^4)^2;$

г) $-(-3^2)^3.$

Для решения этой задачи мы будем использовать следующие свойства степеней:

• Свойство возведения степени в степень: $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $
• Возведение в степень отрицательного числа: $ (-a)^n = a^n $, если $ n $ - четное число.
• Возведение в степень отрицательного числа: $ (-a)^n = -a^n $, если $ n $ - нечетное число.

В выражении $ (-3^3)^2 $ мы возводим в квадрат (четная степень) отрицательное основание $ -3^3 $. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным. Поэтому мы можем убрать знак минус.

$ (-3^3)^2 = (3^3)^2 $

Теперь применим свойство возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $:

$ (3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6 $

Ответ: $ 3^6 $

В выражении $ (-3^2)^3 $ мы возводим в куб (нечетная степень) отрицательное основание $ -3^2 $. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным. Поэтому знак минус сохраняется и выносится за скобки.

$ (-3^2)^3 = -(3^2)^3 $

Далее используем свойство возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $:

$ -(3^2)^3 = -3^{2 \cdot 3} = -3^6 $

Ответ: $ -3^6 $

В выражении $ -(3^4)^2 $ знак минус стоит перед скобками и не подвергается возведению в степень. Сначала мы должны выполнить операцию в скобках.

Применим свойство $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $ к выражению в скобках:

$ (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8 $

Теперь вернем знак минус, который был перед скобкой:

$ -(3^4)^2 = -3^8 $

Ответ: $ -3^8 $

Рассмотрим выражение $ -(-3^2)^3 $. Это выражение можно рассматривать как произведение $ -1 $ на $ (-3^2)^3 $. Сначала упростим $ (-3^2)^3 $.

Как мы уже выяснили в пункте б), $ (-3^2)^3 = -3^6 $.

Теперь подставим этот результат обратно в исходное выражение:

$ -(-3^6) $

Умножение отрицательного числа на $ -1 $ (два минуса) дает положительное число:

$ -(-3^6) = 3^6 $

Ответ: $ 3^6 $

547. Представьте в виде степени:

а) $4^5 \cdot 2^{21};$

б) $25^{13} : 5^{11};$

в) $8^5 \cdot 16^{13};$

г) $27^{10} : 9^{15}.$

а) Чтобы представить выражение $4^5 \cdot 2^{21}$ в виде степени, необходимо привести все множители к одному основанию. В данном случае это основание 2. Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$. Тогда $4^5 = (2^2)^5$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$. Теперь исходное выражение можно записать как $2^{10} \cdot 2^{21}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), следовательно: $2^{10} \cdot 2^{21} = 2^{10+21} = 2^{31}$.
Ответ: $2^{31}$

б) В выражении $25^{13} : 5^{11}$ приведем степени к общему основанию 5. Число 25 можно представить как $5^2$. Тогда $25^{13} = (5^2)^{13}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $5^{2 \cdot 13} = 5^{26}$. Теперь выражение принимает вид $5^{26} : 5^{11}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$), следовательно: $5^{26} : 5^{11} = 5^{26-11} = 5^{15}$.
Ответ: $5^{15}$

в) В выражении $8^5 \cdot 16^{13}$ приведем оба основания к степени числа 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$. Подставим эти значения в выражение: $8^5 \cdot 16^{13} = (2^3)^5 \cdot (2^4)^{13}$. Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим каждый множитель: $(2^3)^5 = 2^{15}$ и $(2^4)^{13} = 2^{52}$. Теперь перемножим полученные степени: $2^{15} \cdot 2^{52}$. По правилу умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получим: $2^{15+52} = 2^{67}$.
Ответ: $2^{67}$

г) В выражении $27^{10} : 9^{15}$ приведем оба основания к степени числа 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$. Подставим эти значения в выражение: $27^{10} : 9^{15} = (3^3)^{10} : (3^2)^{15}$. Упростим степени, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $(3^3)^{10} = 3^{30}$ и $(3^2)^{15} = 3^{30}$. Теперь выполним деление: $3^{30} : 3^{30}$. По правилу деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$), получим: $3^{30-30} = 3^0$.
Ответ: $3^0$

550. При каком условии:

а) сумма квадратов двух чисел равна нулю; $x^2 + y^2 = 0$;

б) квадрат суммы двух чисел равен нулю? $(x+y)^2 = 0$?

а) сумма квадратов двух чисел равна нулю

Пусть даны два числа, которые мы обозначим как $a$ и $b$. Сумма их квадратов записывается в виде математического выражения $a^2 + b^2$. По условию задачи, это выражение равно нулю: $$ a^2 + b^2 = 0 $$ Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) является неотрицательной величиной. Это означает, что $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых ($a^2$ и $b^2$) может быть равна нулю только в том единственном случае, когда каждое из этих слагаемых само по себе равно нулю. Следовательно, для выполнения условия должны одновременно выполняться два равенства: $$ a^2 = 0 \quad \text{и} \quad b^2 = 0 $$ Из этих равенств следует, что $a = 0$ и $b = 0$. Таким образом, сумма квадратов двух чисел равна нулю только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю.
Ответ: это условие выполняется только в том случае, если оба числа равны нулю.

б) квадрат суммы двух чисел равен нулю

Пусть снова даны два числа, $a$ и $b$. Сумма этих чисел равна $a + b$. Квадрат этой суммы записывается как $(a + b)^2$. По условию задачи, это выражение равно нулю: $$ (a + b)^2 = 0 $$ Квадрат некоторого выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само это выражение (основание степени) равно нулю. Следовательно, для выполнения условия необходимо, чтобы: $$ a + b = 0 $$ Это равенство означает, что числа $a$ и $b$ являются противоположными, то есть $a = -b$. Например, это могут быть пары чисел 5 и -5, -3 и 3, или частный случай, когда оба числа равны нулю (0 и 0). Главное, чтобы их сумма обращалась в ноль.
Ответ: это условие выполняется в том случае, если сумма этих чисел равна нулю, то есть если числа являются противоположными.

553. Какова степень одночлена:

а) $3x^3y^7$;

б) $-10ab^2c^3$;

в) $a^9b^9$;

г) $-xyz$;

д) $-8x^0$;

е) 2,4?

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен является числом (не равным нулю), то его степень считают равной нулю.

а) $3x^3y^7$

В данном одночлене две переменные: $x$ со степенью 3 и $y$ со степенью 7. Степень одночлена равна сумме показателей степеней его переменных.
Складываем показатели степеней: $3 + 7 = 10$.
Ответ: 10.

б) $-10ab^2c^3$

В этом одночлене три переменные: $a$, $b$ и $c$. Если у переменной не указан показатель степени, он считается равным 1. Таким образом, $a = a^1$.
Складываем показатели степеней всех переменных: $1 (у\ a) + 2 (у\ b) + 3 (у\ c) = 6$.
Ответ: 6.

в) $a^9b^9$

Переменные в одночлене — $a$ со степенью 9 и $b$ со степенью 9.
Сумма показателей степеней: $9 + 9 = 18$.
Ответ: 18.

г) $-xyz$

В одночлене три переменные: $x$, $y$ и $z$. Показатель степени каждой из них равен 1.
Сумма показателей степеней: $1 (у\ x) + 1 (у\ y) + 1 (у\ z) = 3$.
Ответ: 3.

д) $-8x^0$

В одночлене одна переменная $x$ с показателем степени 0. Так как любое число (кроме 0) в нулевой степени равно 1, то $x^0 = 1$ (при $x \neq 0$). Одночлен можно записать как $-8 \cdot 1 = -8$. Это число, не равное нулю, поэтому его степень равна 0. Также можно просто взять показатель степени переменной, который равен 0.
Ответ: 0.

е) $2,4$

Данный одночлен является числом, отличным от нуля. По определению, степень такого одночлена равна нулю. Его можно представить как $2,4x^0$, где показатель степени переменной равен 0.
Ответ: 0.

545. Упростите выражение:

а) $(x^3)^2 \cdot (-x^3)^4;$

б) $(-y^3)^7 \cdot (-y^4)^5;$

в) $(x^7)^5 \cdot (-x^2)^6;$

г) $(-c^9)^4 \cdot (c^5)^2.$

а) Для упрощения выражения $(x^3)^2 \cdot (-x^3)^4$ необходимо применить свойства степеней.
Сначала раскроем скобки для каждого множителя, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Для первого множителя:
$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$.
Для второго множителя учтем, что отрицательное основание в четной степени (4) дает положительный результат: $(-a)^{2k} = a^{2k}$.
$(-x^3)^4 = (x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$.
Теперь перемножим полученные результаты, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$x^6 \cdot x^{12} = x^{6+12} = x^{18}$.
Ответ: $x^{18}$.

б) Упростим выражение $(-y^3)^7 \cdot (-y^4)^5$.
При возведении в нечетную степень (7 и 5) отрицательное основание сохраняет свой знак: $(-a)^{2k+1} = -a^{2k+1}$.
Упростим первый множитель:
$(-y^3)^7 = -(y^3)^7 = -y^{3 \cdot 7} = -y^{21}$.
Упростим второй множитель:
$(-y^4)^5 = -(y^4)^5 = -y^{4 \cdot 5} = -y^{20}$.
Теперь перемножим полученные выражения. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число:
$(-y^{21}) \cdot (-y^{20}) = y^{21} \cdot y^{20} = y^{21+20} = y^{41}$.
Ответ: $y^{41}$.

в) Упростим выражение $(x^7)^5 \cdot (-x^2)^6$.
Возведем в степень первый множитель:
$(x^7)^5 = x^{7 \cdot 5} = x^{35}$.
При возведении второго множителя в четную степень (6), результат будет положительным:
$(-x^2)^6 = (x^2)^6 = x^{2 \cdot 6} = x^{12}$.
Теперь выполним умножение степеней, сложив их показатели:
$x^{35} \cdot x^{12} = x^{35+12} = x^{47}$.
Ответ: $x^{47}$.

г) Упростим выражение $(-c^9)^4 \cdot (c^5)^2$.
При возведении первого множителя в четную степень (4), знак минус исчезает:
$(-c^9)^4 = (c^9)^4 = c^{9 \cdot 4} = c^{36}$.
Возведем в степень второй множитель:
$(c^5)^2 = c^{5 \cdot 2} = c^{10}$.
Перемножим полученные выражения, сложив показатели степеней:
$c^{36} \cdot c^{10} = c^{36+10} = c^{46}$.
Ответ: $c^{46}$.

548. Представьте выражение в виде $x^n$ или $-x^n$:

а) $(-x^3)^7$;

б) $(-x^2)^5$;

в) $(-x)^4 x^8$;

г) $(-x^5)^7 \cdot (x^2)^3$.

а)

Чтобы представить выражение $(-x^3)^7$ в виде $x^n$ или $-x^n$, необходимо применить свойства степеней. Поскольку основание степени $(-x^3)$ отрицательное, а показатель степени 7 — нечетное число, результат будет отрицательным. Знак "минус" можно вынести за скобки.

$(-x^3)^7 = -(x^3)^7$

Далее используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В нашем случае $m=3$ и $n=7$.

$-(x^3)^7 = -x^{3 \cdot 7} = -x^{21}$

Ответ: $-x^{21}$

б)

Рассмотрим выражение $(-x^2)^5$.

Показатель степени 5 является нечетным числом, поэтому при возведении отрицательного основания в эту степень знак "минус" сохраняется.

$(-x^2)^5 = -(x^2)^5$

Применяя правило возведения степени в степень, перемножаем показатели:

$-(x^2)^5 = -x^{2 \cdot 5} = -x^{10}$

Ответ: $-x^{10}$

в)

Рассмотрим выражение $(-x)^4 x^8$.

Сначала упростим первый множитель $(-x)^4$. Так как показатель степени 4 является четным числом, то при возведении отрицательного основания $-x$ в эту степень результат будет положительным.

$(-x)^4 = x^4$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$x^4 \cdot x^8$

Далее используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$x^4 \cdot x^8 = x^{4+8} = x^{12}$

Ответ: $x^{12}$

г)

Рассмотрим выражение $(-x^5)^7 \cdot (x^2)^3$.

Упростим каждый множитель по отдельности, используя правила работы со степенями.

Для первого множителя $(-x^5)^7$: показатель степени 7 нечетный, поэтому знак "минус" сохраняется. Затем перемножаем показатели.

$(-x^5)^7 = -(x^5)^7 = -x^{5 \cdot 7} = -x^{35}$

Для второго множителя $(x^2)^3$: перемножаем показатели степеней.

$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$

Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:

$(-x^{35}) \cdot x^6$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.

$-x^{35} \cdot x^6 = -x^{35+6} = -x^{41}$

Ответ: $-x^{41}$

551. Натуральное число $a$ оканчивается единицей. Какой цифрой оканчивается степень числа $a$ с натуральным показателем? Для каких ещё цифр выполняется аналогичное свойство?

Какой цифрой оканчивается степень числа a с натуральным показателем?

Пусть натуральное число $a$ оканчивается на цифру 1. Это означает, что число $a$ можно представить в виде $a = 10k + 1$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число.

Последняя цифра произведения двух или более чисел зависит только от последних цифр этих чисел. Рассмотрим, на какую цифру будут оканчиваться степени числа $a$ с натуральным показателем $n$ (где $n \in \{1, 2, 3, ...\}$).

Для $n=1$: $a^1 = a$. Число оканчивается на 1.

Для $n=2$: $a^2 = a \cdot a$. Последняя цифра этого произведения будет такой же, как последняя цифра произведения последних цифр сомножителей, то есть $1 \cdot 1 = 1$.

Для $n=3$: $a^3 = a^2 \cdot a$. Последняя цифра $a^2$ равна 1, последняя цифра $a$ равна 1. Значит, последняя цифра $a^3$ будет такой же, как у $1 \cdot 1 = 1$.

Очевидно, что при каждом следующем умножении на число $a$ (которое оканчивается на 1), последняя цифра результата будет оставаться равной 1. Таким образом, любая натуральная степень числа $a$, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1.

Ответ: 1.

Для каких ещё цифр выполняется аналогичное свойство?

Аналогичное свойство — это когда любая натуральная степень числа, оканчивающегося на некоторую цифру $d$, также оканчивается на эту же цифру $d$.

Чтобы это свойство выполнялось, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра квадрата самой цифры $d$ совпадала с $d$. То есть, последняя цифра $d^2$ должна быть равна $d$. Если это так, то последняя цифра $d^3 = d^2 \cdot d$ будет такой же, как у $d \cdot d$, то есть снова $d$, и так далее для всех натуральных степеней.

Проверим все цифры от 0 до 9 (цифру 1 мы уже рассмотрели):

• Для цифры 0: $0^2 = 0$. Последняя цифра — 0. Свойство выполняется. Если число оканчивается на 0, любая его натуральная степень также будет оканчиваться на 0.
• Для цифры 2: $2^2 = 4$. Последняя цифра — 4, а не 2. Не подходит.
• Для цифры 3: $3^2 = 9$. Последняя цифра — 9, а не 3. Не подходит.
• Для цифры 4: $4^2 = 16$. Последняя цифра — 6, а не 4. Не подходит.
• Для цифры 5: $5^2 = 25$. Последняя цифра — 5. Свойство выполняется.
• Для цифры 6: $6^2 = 36$. Последняя цифра — 6. Свойство выполняется.
• Для цифры 7: $7^2 = 49$. Последняя цифра — 9, а не 7. Не подходит.
• Для цифры 8: $8^2 = 64$. Последняя цифра — 4, а не 8. Не подходит.
• Для цифры 9: $9^2 = 81$. Последняя цифра — 1, а не 9. Не подходит.

Таким образом, кроме цифры 1, данное свойство выполняется для цифр 0, 5 и 6.

Ответ: 0, 5, 6.

546. Замените букву $p$ выражением так, чтобы полученное равенство было тождеством:

а) $p^5 = x^{20};$

б) $p^7 = x^{21};$

в) $p^3c^8 = c^{20};$

г) $y^7 \cdot (y^2)^4 = p^5.$

а) Чтобы равенство $p^5 = x^{20}$ было тождеством, нам нужно найти такое выражение для $p$, чтобы его пятая степень равнялась $x^{20}$. Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Представим $x^{20}$ в виде степени с показателем 5: $x^{20} = x^{4 \cdot 5} = (x^4)^5$. Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде $p^5 = (x^4)^5$. Отсюда следует, что искомое выражение для $p$ равно $x^4$.
Ответ: $p = x^4$.

б) В равенстве $p^7 = x^{21}$ нам необходимо найти выражение для $p$. Аналогично предыдущему пункту, используем свойство возведения степени в степень. Представим правую часть равенства $x^{21}$ в виде степени с показателем 7: $x^{21} = x^{3 \cdot 7} = (x^3)^7$. Теперь равенство имеет вид $p^7 = (x^3)^7$. Следовательно, $p = x^3$.
Ответ: $p = x^3$.

в) В равенстве $p^3c^8 = c^{20}$ сначала выразим $p^3$. Для этого разделим обе части равенства на $c^8$ (при условии, что $c \neq 0$): $p^3 = \frac{c^{20}}{c^8}$. По свойству деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем: $p^3 = c^{20-8} = c^{12}$. Теперь, чтобы найти $p$, представим $c^{12}$ в виде степени с показателем 3: $c^{12} = c^{4 \cdot 3} = (c^4)^3$. Равенство принимает вид $p^3 = (c^4)^3$, из чего следует, что $p = c^4$.
Ответ: $p = c^4$.

г) Рассмотрим равенство $y^7 \cdot (y^2)^4 = p^5$. Сначала упростим левую часть выражения. Используя свойство возведения степени в степень, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $(y^2)^4 = y^{2 \cdot 4} = y^8$. Теперь левая часть выглядит как $y^7 \cdot y^8$. По свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, имеем: $y^7 \cdot y^8 = y^{7+8} = y^{15}$. Итак, исходное равенство эквивалентно уравнению $y^{15} = p^5$. Чтобы найти $p$, представим $y^{15}$ в виде степени с показателем 5: $y^{15} = y^{3 \cdot 5} = (y^3)^5$. Получили равенство $p^5 = (y^3)^5$. Отсюда находим, что $p = y^3$.
Ответ: $p = y^3$.

549. Сколькими способами можно представить в виде степени с по-казателем, отличным от 1, число:

а) $2^{15}$,

б) $2^{6}$?

Чтобы найти количество способов представить число в виде степени с показателем, отличным от 1, нужно найти, сколькими способами можно представить показатель исходной степени в виде произведения двух множителей, один из которых будет новым показателем. Это следует из свойства степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Мы ищем представления числа $2^p$ в виде $A^k$, где $k \neq 1$. Если основание $A$ также является степенью двойки, то есть $A=2^m$, то мы получаем $2^p = (2^m)^k = 2^{m \cdot k}$. Отсюда следует, что $p = m \cdot k$. Таким образом, задача сводится к нахождению количества натуральных делителей показателя $p$, которые не равны 1.

а)

Рассмотрим число $2^{15}$. Здесь показатель степени $p=15$. Нам нужно найти количество делителей числа 15, отличных от 1.

Натуральными делителями числа 15 являются: 1, 3, 5, 15.

Согласно условию, показатель новой степени должен быть отличен от 1. Поэтому мы исключаем делитель 1. Остаются делители: 3, 5, 15. Всего их три.

Каждому из этих делителей соответствует свой способ представления числа $2^{15}$ в виде степени:

1. Показатель 3: $2^{15} = 2^{5 \cdot 3} = (2^5)^3 = 32^3$.

2. Показатель 5: $2^{15} = 2^{3 \cdot 5} = (2^3)^5 = 8^5$.

3. Показатель 15: $2^{15} = 2^{1 \cdot 15} = (2^1)^{15} = 2^{15}$.

Таким образом, существует 3 способа.

Ответ: 3.

б)

Рассмотрим число $2^6$. Здесь показатель степени $p=6$. Нам нужно найти количество делителей числа 6, отличных от 1.

Натуральными делителями числа 6 являются: 1, 2, 3, 6.

Исключаем делитель 1. Остаются делители: 2, 3, 6. Всего их три.

Каждому из этих делителей соответствует свой способ представления числа $2^6$ в виде степени:

1. Показатель 2: $2^6 = 2^{3 \cdot 2} = (2^3)^2 = 8^2$.

2. Показатель 3: $2^6 = 2^{2 \cdot 3} = (2^2)^3 = 4^3$.

3. Показатель 6: $2^6 = 2^{1 \cdot 6} = (2^1)^6 = 2^6$.

Таким образом, существует 3 способа.

Ответ: 3.

552. Докажите, что при любом натуральном $k$:

а) число $3^{4k}$ оканчивается единицей;

б) число $10^k - 1$ кратно 3.

а) Для доказательства утверждения преобразуем выражение $3^{4k}$, используя свойства степеней:

$3^{4k} = (3^4)^k$.

Вычислим основание степени $3^4$:
$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81$.

Таким образом, исходное выражение можно записать как $81^k$.

Последняя цифра произведения чисел зависит только от их последних цифр. При возведении в любую натуральную степень числа, оканчивающегося на 1, результат также будет оканчиваться на 1, поскольку последняя цифра произведения будет определяться умножением $1 \times 1 = 1$.Поскольку число 81 оканчивается на 1, то и число $81^k$ для любого натурального $k$ будет оканчиваться на 1.Следовательно, число $3^{4k}$ оканчивается единицей при любом натуральном $k$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Чтобы доказать, что число $10^k - 1$ кратно 3 при любом натуральном $k$, рассмотрим вид этого числа. При любом натуральном $k$ число $10^k$ представляет собой единицу, за которой следует $k$ нулей. Следовательно, число $10^k - 1$ состоит из $k$ цифр 9.

Например:
При $k=1$: $10^1 - 1 = 9$.
При $k=2$: $10^2 - 1 = 100 - 1 = 99$.
При $k=3$: $10^3 - 1 = 1000 - 1 = 999$.
В общем виде: $10^k - 1 = \underbrace{99...9}_{k \text{ раз}}$.

Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Найдем сумму цифр числа $10^k - 1$, которое состоит из $k$ девяток:
Сумма цифр = $\underbrace{9 + 9 + ... + 9}_{k \text{ слагаемых}} = 9k$.

Поскольку $k$ — натуральное число, произведение $9k$ всегда делится на 3, так как один из множителей (9) делится на 3.Так как сумма цифр числа $10^k - 1$ кратна 3, то и само число $10^k - 1$ кратно 3 для любого натурального $k$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

554. Представьте выражение в виде одночлена стандартного вида и укажите его степень:

а) $5ab \cdot 0,7bc \cdot 40ac;$

б) $-0,45bd \cdot \left(-1\frac{1}{9}ad\right) \cdot 9ab;$

в) $-a^3b \cdot 3a^2b^4;$

г) $0,6x^3y \cdot (-0,5xy^3).$

а) $5ab \cdot 0,7bc \cdot 40ac$

Чтобы представить выражение в виде одночлена стандартного вида, необходимо перемножить все числовые коэффициенты и все переменные. Сначала сгруппируем числовые множители и переменные:

$(5 \cdot 0,7 \cdot 40) \cdot (a \cdot a) \cdot (b \cdot b) \cdot (c \cdot c)$

Вычислим произведение числовых коэффициентов:

$5 \cdot 0,7 \cdot 40 = 3,5 \cdot 40 = 140$

Теперь перемножим переменные, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a \cdot a = a^1 \cdot a^1 = a^{1+1} = a^2$

$b \cdot b = b^1 \cdot b^1 = b^{1+1} = b^2$

$c \cdot c = c^1 \cdot c^1 = c^{1+1} = c^2$

Таким образом, одночлен в стандартном виде: $140a^2b^2c^2$.

Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. В данном случае степень равна $2 + 2 + 2 = 6$.

Ответ: одночлен в стандартном виде $140a^2b^2c^2$, его степень равна 6.

б) $-0,45bd \cdot (-1\frac{1}{9}ad) \cdot 9ab$

Сначала преобразуем числовые коэффициенты в удобный для вычислений вид. Десятичную дробь и смешанное число представим в виде обыкновенных дробей:

$-0,45 = -\frac{45}{100} = -\frac{9}{20}$

$-1\frac{1}{9} = -\frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = -\frac{10}{9}$

Теперь перемножим числовые коэффициенты:

$(-\frac{9}{20}) \cdot (-\frac{10}{9}) \cdot 9 = \frac{9 \cdot 10 \cdot 9}{20 \cdot 9} = \frac{10 \cdot 9}{20} = \frac{90}{20} = \frac{9}{2} = 4,5$

Затем сгруппируем и перемножим переменные:

$(a \cdot a) \cdot (b \cdot b) \cdot (d \cdot d) = a^{1+1}b^{1+1}d^{1+1} = a^2b^2d^2$

Запишем одночлен в стандартном виде, объединив числовой коэффициент и переменные:

$4,5a^2b^2d^2$

Степень одночлена равна сумме показателей степеней всех переменных: $2 + 2 + 2 = 6$.

Ответ: одночлен в стандартном виде $4,5a^2b^2d^2$, его степень равна 6.

в) $-a^3b \cdot 3a^2b^4$

Сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и переменные отдельно:

$(-1 \cdot 3) \cdot (a^3 \cdot a^2) \cdot (b \cdot b^4)$

Произведение числовых коэффициентов (коэффициент $-a^3b$ равен -1):

$-1 \cdot 3 = -3$

Произведение переменных с основанием $a$:

$a^3 \cdot a^2 = a^{3+2} = a^5$

Произведение переменных с основанием $b$:

$b^1 \cdot b^4 = b^{1+4} = b^5$

Собираем одночлен стандартного вида:

$-3a^5b^5$

Степень одночлена — это сумма показателей степеней переменных: $5 + 5 = 10$.

Ответ: одночлен в стандартном виде $-3a^5b^5$, его степень равна 10.

г) $0,6x^3y \cdot (-0,5xy^3)$

Перемножим числовые коэффициенты:

$0,6 \cdot (-0,5) = -0,3$

Перемножим переменные, сгруппировав их по основаниям:

$(x^3 \cdot x) \cdot (y \cdot y^3)$

Используя свойство степеней, получаем:

$x^3 \cdot x^1 = x^{3+1} = x^4$

$y^1 \cdot y^3 = y^{1+3} = y^4$

Объединяем результаты, чтобы получить одночлен стандартного вида:

$-0,3x^4y^4$

Степень одночлена равна сумме показателей степеней переменных: $4 + 4 = 8$.

Ответ: одночлен в стандартном виде $-0,3x^4y^4$, его степень равна 8.

555. Составьте все возможные одночлены стандартного вида с коэффициентом 5, содержащие переменные $x$ и $y$, такие, что степень каждого одночлена равна:

a) трём;

$5x^3$, $5x^2y$, $5xy^2$, $5y^3$

б) четырём.

$5x^4$, $5x^3y$, $5x^2y^2$, $5xy^3$, $5y^4$

а)

Одночлен стандартного вида с коэффициентом 5 и переменными $x$ и $y$ имеет общий вид $5x^a y^b$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа. Степень такого одночлена равна сумме показателей $a+b$.

По условию, степень одночлена равна трём, следовательно, $a + b = 3$. Найдём все пары целых неотрицательных чисел $(a, b)$, удовлетворяющие этому равенству, и запишем соответствующие одночлены:
- Если $a=3, b=0$, то одночлен: $5x^3y^0 = 5x^3$.
- Если $a=2, b=1$, то одночлен: $5x^2y^1 = 5x^2y$.
- Если $a=1, b=2$, то одночлен: $5x^1y^2 = 5xy^2$.
- Если $a=0, b=3$, то одночлен: $5x^0y^3 = 5y^3$.

Ответ: $5x^3, 5x^2y, 5xy^2, 5y^3$.

б)

По условию, степень одночлена равна четырём, следовательно, $a + b = 4$. Найдём все пары целых неотрицательных чисел $(a, b)$, удовлетворяющие этому равенству, и запишем соответствующие одночлены:
- Если $a=4, b=0$, то одночлен: $5x^4y^0 = 5x^4$.
- Если $a=3, b=1$, то одночлен: $5x^3y^1 = 5x^3y$.
- Если $a=2, b=2$, то одночлен: $5x^2y^2$.
- Если $a=1, b=3$, то одночлен: $5x^1y^3 = 5xy^3$.
- Если $a=0, b=4$, то одночлен: $5x^0y^4 = 5y^4$.

Ответ: $5x^4, 5x^3y, 5x^2y^2, 5xy^3, 5y^4$.