Номер 550, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 550, страница 124.

Условие.

550. При каком условии:

а) сумма квадратов двух чисел равна нулю; $x^2 + y^2 = 0$;

б) квадрат суммы двух чисел равен нулю? $(x+y)^2 = 0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) сумма квадратов двух чисел равна нулю

Пусть даны два числа, которые мы обозначим как $a$ и $b$. Сумма их квадратов записывается в виде математического выражения $a^2 + b^2$. По условию задачи, это выражение равно нулю: $$ a^2 + b^2 = 0 $$ Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) является неотрицательной величиной. Это означает, что $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых ($a^2$ и $b^2$) может быть равна нулю только в том единственном случае, когда каждое из этих слагаемых само по себе равно нулю. Следовательно, для выполнения условия должны одновременно выполняться два равенства: $$ a^2 = 0 \quad \text{и} \quad b^2 = 0 $$ Из этих равенств следует, что $a = 0$ и $b = 0$. Таким образом, сумма квадратов двух чисел равна нулю только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю.
Ответ: это условие выполняется только в том случае, если оба числа равны нулю.

б) квадрат суммы двух чисел равен нулю

Пусть снова даны два числа, $a$ и $b$. Сумма этих чисел равна $a + b$. Квадрат этой суммы записывается как $(a + b)^2$. По условию задачи, это выражение равно нулю: $$ (a + b)^2 = 0 $$ Квадрат некоторого выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само это выражение (основание степени) равно нулю. Следовательно, для выполнения условия необходимо, чтобы: $$ a + b = 0 $$ Это равенство означает, что числа $a$ и $b$ являются противоположными, то есть $a = -b$. Например, это могут быть пары чисел 5 и -5, -3 и 3, или частный случай, когда оба числа равны нулю (0 и 0). Главное, чтобы их сумма обращалась в ноль.
Ответ: это условие выполняется в том случае, если сумма этих чисел равна нулю, то есть если числа являются противоположными.