Номер 547, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 547, страница 124.

Условие.

547. Представьте в виде степени:

а) $4^5 \cdot 2^{21};$

б) $25^{13} : 5^{11};$

в) $8^5 \cdot 16^{13};$

г) $27^{10} : 9^{15}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $4^5 \cdot 2^{21}$ в виде степени, необходимо привести все множители к одному основанию. В данном случае это основание 2. Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$. Тогда $4^5 = (2^2)^5$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$. Теперь исходное выражение можно записать как $2^{10} \cdot 2^{21}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), следовательно: $2^{10} \cdot 2^{21} = 2^{10+21} = 2^{31}$.
Ответ: $2^{31}$

б) В выражении $25^{13} : 5^{11}$ приведем степени к общему основанию 5. Число 25 можно представить как $5^2$. Тогда $25^{13} = (5^2)^{13}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $5^{2 \cdot 13} = 5^{26}$. Теперь выражение принимает вид $5^{26} : 5^{11}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$), следовательно: $5^{26} : 5^{11} = 5^{26-11} = 5^{15}$.
Ответ: $5^{15}$

в) В выражении $8^5 \cdot 16^{13}$ приведем оба основания к степени числа 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$. Подставим эти значения в выражение: $8^5 \cdot 16^{13} = (2^3)^5 \cdot (2^4)^{13}$. Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим каждый множитель: $(2^3)^5 = 2^{15}$ и $(2^4)^{13} = 2^{52}$. Теперь перемножим полученные степени: $2^{15} \cdot 2^{52}$. По правилу умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получим: $2^{15+52} = 2^{67}$.
Ответ: $2^{67}$

г) В выражении $27^{10} : 9^{15}$ приведем оба основания к степени числа 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$. Подставим эти значения в выражение: $27^{10} : 9^{15} = (3^3)^{10} : (3^2)^{15}$. Упростим степени, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $(3^3)^{10} = 3^{30}$ и $(3^2)^{15} = 3^{30}$. Теперь выполним деление: $3^{30} : 3^{30}$. По правилу деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$), получим: $3^{30-30} = 3^0$.
Ответ: $3^0$