Номер 542, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 542, страница 123.

Условие.

542. Найдите значение выражения:

а) $4^5 \cdot 2,5^5;$

б) $(\frac{1}{3})^{13} \cdot 3^{13};$

в) $0,2^9 \cdot 5^7;$

г) $0,4^{10} \cdot 2,5^{12};$

д) $0,2^6 \cdot 25^3;$

е) $(\frac{1}{9})^6 \cdot 81^4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для решения используем свойство произведения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Так как показатели степеней равны 5, мы можем перемножить основания, а показатель степени оставить прежним.
$4^5 \cdot 2,5^5 = (4 \cdot 2,5)^5 = 10^5 = 100000$.
Ответ: 100000.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
$(\frac{1}{3})^{13} \cdot 3^{13} = (\frac{1}{3} \cdot 3)^{13} = 1^{13} = 1$.
Ответ: 1.

в) В этом выражении показатели степеней разные (9 и 7). Чтобы использовать свойство произведения степеней, нужно привести их к одному показателю. Представим $0,2^9$ как $0,2^{2+7} = 0,2^2 \cdot 0,2^7$, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$0,2^9 \cdot 5^7 = (0,2^2 \cdot 0,2^7) \cdot 5^7 = 0,2^2 \cdot (0,2^7 \cdot 5^7) = 0,2^2 \cdot (0,2 \cdot 5)^7$.
Теперь вычислим значение выражения: $0,2^2 \cdot 1^7 = 0,04 \cdot 1 = 0,04$.
Ответ: 0,04.

г) Показатели степеней в этом выражении также разные (10 и 12). Представим $2,5^{12}$ как $2,5^{10+2} = 2,5^{10} \cdot 2,5^2$.
$0,4^{10} \cdot 2,5^{12} = 0,4^{10} \cdot (2,5^{10} \cdot 2,5^2) = (0,4^{10} \cdot 2,5^{10}) \cdot 2,5^2 = (0,4 \cdot 2,5)^{10} \cdot 2,5^2$.
Вычислим значение выражения: $1^{10} \cdot 2,5^2 = 1 \cdot 6,25 = 6,25$.
Ответ: 6,25.

д) В этом выражении разные и основания, и показатели степеней. Необходимо привести множители к одному основанию или к одному показателю. Удобнее привести к одному показателю.
Заметим, что $25 = 5^2$. Тогда, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получим $25^3 = (5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$.
Теперь выражение выглядит так: $0,2^6 \cdot 5^6$.
Используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$: $(0,2 \cdot 5)^6 = 1^6 = 1$.
Ответ: 1.

е) Приведем основания степеней к одному числу. Заметим, что $81 = 9^2$ и $\frac{1}{9} = 9^{-1}$.
Подставим эти значения в исходное выражение: $(\frac{1}{9})^6 \cdot 81^4 = (9^{-1})^6 \cdot (9^2)^4$.
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$: $9^{-1 \cdot 6} \cdot 9^{2 \cdot 4} = 9^{-6} \cdot 9^8$.
Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $9^{-6+8} = 9^2$.
Вычислим результат: $9^2 = 81$.
Ответ: 81.