Номер 540, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 540, страница 123.

Условие.

540. Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ — радиус шара. Как изменится объём шара, если радиус увеличить в 2 раза? в 4 раза?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Исходная формула для вычисления объёма шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. В этой формуле объём $V$ находится в прямой зависимости от радиуса $r$ в третьей степени. Это означает, что если радиус увеличить в $k$ раз, то объём увеличится в $k^3$ раз. Давайте проверим это для заданных условий.

Если радиус увеличить в 2 раза
Пусть первоначальный радиус шара равен $r_1$, а его объём — $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$.
Новый радиус $r_2$ в 2 раза больше первоначального, то есть $r_2 = 2r_1$.
Тогда новый объём $V_2$ будет равен:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3 = \frac{4}{3}\pi (2r_1)^3 = \frac{4}{3}\pi (2^3 \cdot r_1^3) = \frac{4}{3}\pi (8r_1^3)$
Вынесем множитель 8 за скобки:
$V_2 = 8 \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right)$
Так как выражение в скобках равно первоначальному объёму $V_1$, получаем:
$V_2 = 8V_1$
Это означает, что объём шара увеличится в 8 раз.
Ответ: объем увеличится в 8 раз.

Если радиус увеличить в 4 раза
Пусть первоначальный радиус шара равен $r_1$, а его объём — $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$.
Новый радиус $r_3$ в 4 раза больше первоначального, то есть $r_3 = 4r_1$.
Тогда новый объём $V_3$ будет равен:
$V_3 = \frac{4}{3}\pi r_3^3 = \frac{4}{3}\pi (4r_1)^3 = \frac{4}{3}\pi (4^3 \cdot r_1^3) = \frac{4}{3}\pi (64r_1^3)$
Вынесем множитель 64 за скобки:
$V_3 = 64 \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right)$
Так как выражение в скобках равно первоначальному объёму $V_1$, получаем:
$V_3 = 64V_1$
Это означает, что объём шара увеличится в 64 раза.
Ответ: объем увеличится в 64 раза.