Номер 541, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 541, страница 123.

Условие.

541. Верно ли при любом значении $x$ равенство:

а) $|x|^2 = x^2$;

б) $|x|^3 = x^3$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Проверим справедливость равенства $|x|^2 = x^2$ для любого значения $x$.

Для проверки этого равенства необходимо рассмотреть все возможные значения $x$. Воспользуемся определением модуля числа:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Подставим это значение в левую часть равенства:

$|x|^2 = x^2$.

Мы видим, что левая часть равна правой. Следовательно, для всех $x \ge 0$ равенство верно.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставим это значение в левую часть равенства:

$|x|^2 = (-x)^2 = (-1 \cdot x)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2$.

В этом случае левая часть также равна $x^2$, что совпадает с правой частью. Следовательно, для всех $x < 0$ равенство тоже верно.

Так как равенство выполняется для всех $x \ge 0$ и для всех $x < 0$, оно верно при любом значении $x$.

Ответ: да, верно.

б) Проверим справедливость равенства $|x|^3 = x^3$ для любого значения $x$.

Как и в предыдущем пункте, рассмотрим два случая на основе определения модуля.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Подставим это в левую часть равенства:

$|x|^3 = x^3$.

Для всех неотрицательных значений $x$ равенство верно.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставим это в левую часть равенства:

$|x|^3 = (-x)^3 = (-1)^3 \cdot x^3 = -1 \cdot x^3 = -x^3$.

Теперь сравним полученное выражение $-x^3$ с правой частью исходного равенства, которая равна $x^3$. Равенство $-x^3 = x^3$ будет верным, только если $2x^3 = 0$, то есть при $x=0$. Но мы рассматриваем случай $x < 0$. Значит, для любого отрицательного числа $x$ равенство не выполняется.

Чтобы доказать, что равенство неверно для любого $x$, достаточно привести один контрпример. Возьмем любое отрицательное число, например, $x = -3$.

Вычислим левую часть: $|x|^3 = |-3|^3 = 3^3 = 27$.

Вычислим правую часть: $x^3 = (-3)^3 = -27$.

Поскольку $27 \ne -27$, исходное равенство не является верным для всех значений $x$.

Ответ: нет, неверно.