Номер 545, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 545, страница 124.

Условие.

545. Упростите выражение:

а) $(x^3)^2 \cdot (-x^3)^4;$

б) $(-y^3)^7 \cdot (-y^4)^5;$

в) $(x^7)^5 \cdot (-x^2)^6;$

г) $(-c^9)^4 \cdot (c^5)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $(x^3)^2 \cdot (-x^3)^4$ необходимо применить свойства степеней.
Сначала раскроем скобки для каждого множителя, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Для первого множителя:
$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$.
Для второго множителя учтем, что отрицательное основание в четной степени (4) дает положительный результат: $(-a)^{2k} = a^{2k}$.
$(-x^3)^4 = (x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$.
Теперь перемножим полученные результаты, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$x^6 \cdot x^{12} = x^{6+12} = x^{18}$.
Ответ: $x^{18}$.

б) Упростим выражение $(-y^3)^7 \cdot (-y^4)^5$.
При возведении в нечетную степень (7 и 5) отрицательное основание сохраняет свой знак: $(-a)^{2k+1} = -a^{2k+1}$.
Упростим первый множитель:
$(-y^3)^7 = -(y^3)^7 = -y^{3 \cdot 7} = -y^{21}$.
Упростим второй множитель:
$(-y^4)^5 = -(y^4)^5 = -y^{4 \cdot 5} = -y^{20}$.
Теперь перемножим полученные выражения. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число:
$(-y^{21}) \cdot (-y^{20}) = y^{21} \cdot y^{20} = y^{21+20} = y^{41}$.
Ответ: $y^{41}$.

в) Упростим выражение $(x^7)^5 \cdot (-x^2)^6$.
Возведем в степень первый множитель:
$(x^7)^5 = x^{7 \cdot 5} = x^{35}$.
При возведении второго множителя в четную степень (6), результат будет положительным:
$(-x^2)^6 = (x^2)^6 = x^{2 \cdot 6} = x^{12}$.
Теперь выполним умножение степеней, сложив их показатели:
$x^{35} \cdot x^{12} = x^{35+12} = x^{47}$.
Ответ: $x^{47}$.

г) Упростим выражение $(-c^9)^4 \cdot (c^5)^2$.
При возведении первого множителя в четную степень (4), знак минус исчезает:
$(-c^9)^4 = (c^9)^4 = c^{9 \cdot 4} = c^{36}$.
Возведем в степень второй множитель:
$(c^5)^2 = c^{5 \cdot 2} = c^{10}$.
Перемножим полученные выражения, сложив показатели степеней:
$c^{36} \cdot c^{10} = c^{36+10} = c^{46}$.
Ответ: $c^{46}$.