Страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

500. Если в выражении $a^2 + a + 17$ подставлять вместо $a$ числа 0, 1, 2, 3, ..., то сначала получаются простые числа. Укажите наименьшее натуральное значение $a$, при котором значение этого выражения является составным числом.

Требуется найти наименьшее натуральное значение $a$, при котором выражение $a^2 + a + 17$ является составным числом. Натуральными числами считаются положительные целые числа $1, 2, 3, \ldots$.

Обозначим данное выражение как $P(a) = a^2 + a + 17$. Составное число — это натуральное число, имеющее делители, отличные от единицы и самого себя. Чтобы найти такое значение $a$, при котором $P(a)$ будет составным, можно попытаться сделать это выражение кратным какому-либо числу.

Преобразуем выражение, вынеся общий множитель $a$ за скобки: $P(a) = a(a+1) + 17$.

Из вида этого выражения видно, что если слагаемое $a(a+1)$ будет делиться на 17, то и вся сумма $a(a+1)+17$ будет делиться на 17. Так как 17 — простое число, произведение $a(a+1)$ делится на 17 в двух случаях:

1. Число $a$ делится на 17. Наименьшим натуральным значением $a$, удовлетворяющим этому условию, является $a = 17$. Подставим это значение в выражение:
$P(17) = 17^2 + 17 + 17 = 17 \cdot (17 + 1 + 1) = 17 \cdot 19 = 323$.
Число 323 является составным.

2. Число $a+1$ делится на 17. Наименьшее натуральное $a$, для которого это верно, находится из уравнения $a+1=17$, откуда $a = 16$. Подставим это значение в выражение:
$P(16) = 16^2 + 16 + 17 = 256 + 16 + 17 = 289$.
Число 289 является составным, так как $289 = 17^2$.

Мы нашли два натуральных значения $a$, а именно 16 и 17, при которых выражение становится составным. Наименьшее из них — $a=16$.

Теперь нужно проверить, что для всех натуральных $a$ меньших 16, то есть от 1 до 15, значение выражения является простым числом. Выполним проверку:
При $a=1$: $1^2+1+17=19$ (простое)
При $a=2$: $2^2+2+17=23$ (простое)
При $a=3$: $3^2+3+17=29$ (простое)
При $a=4$: $4^2+4+17=37$ (простое)
При $a=5$: $5^2+5+17=47$ (простое)
При $a=6$: $6^2+6+17=59$ (простое)
При $a=7$: $7^2+7+17=73$ (простое)
При $a=8$: $8^2+8+17=89$ (простое)
При $a=9$: $9^2+9+17=107$ (простое)
При $a=10$: $10^2+10+17=127$ (простое)
При $a=11$: $11^2+11+17=149$ (простое)
При $a=12$: $12^2+12+17=173$ (простое)
При $a=13$: $13^2+13+17=199$ (простое)
При $a=14$: $14^2+14+17=227$ (простое)
При $a=15$: $15^2+15+17=257$ (простое)

Так как для всех натуральных $a$ от 1 до 15 значение выражения является простым числом, а при $a=16$ оно составное, то наименьшее искомое натуральное значение $a$ равно 16.

Ответ: 16

501. Докажите, что значение выражения является составным числом:

а) $15^9 + 31^3$;

б) $16^7 + 25^5 - 41^4$.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $15^9 + 31^3$ является составным числом, покажем, что оно делится на число, отличное от 1 и самого себя. Для этого проанализируем четность слагаемых.

Число 15 является нечетным. Любая натуральная степень нечетного числа также является нечетным числом. Следовательно, $15^9$ – нечетное число.

Аналогично, число 31 является нечетным, поэтому его степень $31^3$ также будет нечетным числом.

Сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом. Таким образом, значение выражения $15^9 + 31^3$ является четным, так как это сумма двух нечетных чисел.

Любое четное число делится на 2. Поскольку оба слагаемых, $15^9$ и $31^3$, являются положительными числами, их сумма — это положительное число, очевидно большее 2. Так как значение выражения является четным числом, большим 2, оно имеет делитель 2. Следовательно, это число является составным.

Ответ: Значение выражения является четным числом, большим 2, и, следовательно, является составным.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $16^7 + 25^5 - 41^4$ является составным числом, определим последнюю цифру этого значения.

Найдем последнюю цифру каждого компонента выражения.

Последняя цифра числа $16^7$: любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также оканчивается на 6. Значит, $16^7$ оканчивается на 6.

Последняя цифра числа $25^5$: любая натуральная степень (больше 0) числа, оканчивающегося на 5, также оканчивается на 5. Значит, $25^5$ оканчивается на 5.

Последняя цифра числа $41^4$: любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также оканчивается на 1. Значит, $41^4$ оканчивается на 1.

Теперь найдем последнюю цифру значения всего выражения. Для этого выполним действия с последними цифрами: последняя цифра результата операции $...6 + ...5 - ...1$ совпадает с последней цифрой числа $6 + 5 - 1 = 10$. Таким образом, значение всего выражения оканчивается на 0.

Любое целое число, которое оканчивается на 0, делится на 10 (а следовательно, на 2 и 5). Это означает, что значение выражения имеет делители, отличные от 1 и самого себя, при условии, что оно не равно 0 или $\pm 10$.

Оценим величину выражения, чтобы убедиться, что оно является положительным числом, большим 10. Сравним $16^7$ и $41^4$. Так как $16^7 = (2^4)^7 = 2^{28}$, а $41^4 < 64^4 = (2^6)^4 = 2^{24}$, то очевидно, что $16^7 > 41^4$. Значит, разность $16^7 - 41^4$ положительна. Если к положительному числу прибавить другое положительное число $25^5$, результат будет положительным и, очевидно, очень большим (гораздо больше 10).

Поскольку значение выражения — это положительное число, которое оканчивается на 0 и больше 10, оно является составным.

Ответ: Значение выражения оканчивается на 0, то есть делится на 10, и является положительным числом, большим 10, следовательно, оно составное.