Страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

495. (Для работы в парах.) Используя график функции $y = x^3$, изображённый на рисунке 63, решите уравнение:

а) $x^3 = 8$;

б) $x^3 = -1$;

в) $x^3 = 5$;

г) $x^3 = 0$.

1) Распределите, кто выполняет задания а), г), а кто — задания б), в), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.

3) Сделайте вывод о числе корней уравнения $x^3 = a$ при различных значениях $a$.

Для решения уравнений вида $x^3 = a$ с использованием графика функции $y = x^3$, необходимо найти точки пересечения этого графика с горизонтальной прямой $y = a$. Абсцисса (координата $x$) каждой точки пересечения является корнем уравнения.

Чтобы решить уравнение $x^3 = 8$ графически, мы ищем точку пересечения графика функции $y = x^3$ и прямой $y = 8$. Для этого на оси ординат (оси $y$) находим значение 8 и проводим через него горизонтальную прямую. Эта прямая пересечет график функции $y = x^3$ в одной точке. Опустив перпендикуляр из этой точки на ось абсцисс (ось $x$), мы найдем соответствующее значение $x$. Из графика видно, что это значение равно 2. Проверка: $2^3 = 8$.

Ответ: $x = 2$

Для решения уравнения $x^3 = -1$ графически, мы ищем точку пересечения графика функции $y = x^3$ и прямой $y = -1$. На оси $y$ находим значение -1, проводим горизонтальную прямую до пересечения с графиком $y = x^3$. Абсцисса точки пересечения будет решением уравнения. Из графика видно, что этой точке соответствует $x = -1$. Проверка: $(-1)^3 = -1$.

Ответ: $x = -1$

Чтобы решить уравнение $x^3 = 5$ графически, необходимо найти точку пересечения графика функции $y = x^3$ и прямой $y = 5$. На оси $y$ находим значение 5 и проводим горизонтальную прямую до пересечения с графиком. Абсцисса этой точки и будет корнем уравнения. Мы знаем, что $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$, значит, корень уравнения находится в интервале от 1 до 2. С помощью графика можно определить лишь приблизительное значение, которое будет немного больше 1,7. Точным решением является иррациональное число, которое записывается в виде кубического корня.

Ответ: $x = \sqrt[3]{5}$

Для решения уравнения $x^3 = 0$ ищем точку пересечения графика функции $y = x^3$ и прямой $y = 0$. Прямая $y = 0$ — это ось абсцисс (ось $x$). График функции $y = x^3$ проходит через начало координат, точку $(0, 0)$, которая лежит на оси $x$. Следовательно, корень уравнения — это абсцисса этой точки.

Ответ: $x = 0$

Далее выполним задание под номером 3.

Анализируя графический метод решения, мы видим, что корень уравнения $x^3 = a$ — это абсцисса точки пересечения графика функции $y = x^3$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Функция $y = x^3$ является строго возрастающей на всей числовой оси, а ее область значений — все действительные числа (от $-\infty$ до $+\infty$). Это означает, что любая горизонтальная прямая $y = a$, независимо от значения $a$ (положительное, отрицательное или ноль), пересечет график функции $y = x^3$ ровно в одной точке.
Если $a > 0$, то точка пересечения будет иметь положительную абсциссу, следовательно, уравнение имеет один положительный корень.
Если $a < 0$, то точка пересечения будет иметь отрицательную абсциссу, следовательно, уравнение имеет один отрицательный корень.
Если $a = 0$, точкой пересечения будет начало координат $(0, 0)$, и уравнение имеет один корень $x = 0$.

Ответ: Уравнение $x^3 = a$ при любом действительном значении $a$ имеет ровно один действительный корень.

498. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций $y = 8,5x$ и $y = 0,5x - 19,2$.

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух функций без построения, необходимо решить систему уравнений, составленную из этих функций. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают.

Нам даны две функции:

$y = 8,5x$

$y = 0,5x - 19,2$

Поскольку в точке пересечения левые части уравнений (значения $y$) равны, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти абсциссу ($x$) этой точки:

$8,5x = 0,5x - 19,2$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения оставим в правой:

$8,5x - 0,5x = -19,2$

Выполним вычитание в левой части:

$8x = -19,2$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8:

$x = \frac{-19,2}{8}$

$x = -2,4$

Мы нашли абсциссу точки пересечения. Теперь найдем ординату ($y$), подставив полученное значение $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать первое уравнение $y = 8,5x$:

$y = 8,5 \cdot (-2,4)$

$y = -20,4$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков функций: $(-2,4; -20,4)$.

Ответ: $(-2,4; -20,4)$.

496. Решите графически уравнение:

a) $x^3 = 4x$;

б) $x^3 = -x + 3$.

а) $x^3 = 4x$

Чтобы решить уравнение графически, нужно построить в одной системе координат графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения, и найти абсциссы (координаты $x$) точек их пересечения.

Рассмотрим две функции: $y = x^3$ и $y = 4x$.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола. Она симметрична относительно начала координат и проходит через следующие точки:
$(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.

2. График функции $y = 4x$ — это прямая, проходящая через начало координат. Для её построения достаточно двух точек, например, $(0, 0)$ и $(1, 4)$.

Построим оба графика на одной координатной плоскости. Мы увидим, что графики пересекаются в трех точках. Координаты этих точек можно определить из построенных графиков или проверить по точкам, вычисленным ранее. Точки пересечения: $(-2, -8)$, $(0, 0)$ и $(2, 8)$.

Абсциссы этих точек пересечения и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $-2; 0; 2$.

б) $x^3 = -x + 3$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = -x + 3$.

1. График функции $y = x^3$ — кубическая парабола (как в пункте а).

2. График функции $y = -x + 3$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки:
При $x = 0$, $y = -0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
При $x = 3$, $y = -3 + 3 = 0$. Точка $(3, 0)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются только в одной точке. Эта точка находится в первом координатном квадранте, ее абсцисса лежит в интервале между $1$ и $2$.

Чтобы найти более точное значение, можно проверить значения функций вблизи предполагаемой точки пересечения.
При $x = 1$: $y = 1^3 = 1$ и $y = -1 + 3 = 2$.
При $x = 1.2$: $y = (1.2)^3 = 1.728$ и $y = -1.2 + 3 = 1.8$.
Значения очень близки, что подтверждает, что абсцисса точки пересечения находится около $1.2$. Для графического решения такая точность является достаточной.

Ответ: $x \approx 1.2$.

499. Упростите выражение:

а) $-0,6a^3b(-2a^2b^3)^3;$

б) $0,8xy^4(-6xy^4)^2;$

в) $-a^4b^7(-3ab)^2;$

г) $(7x^2y)^2 \cdot (-7y^{11});$

д) $(-ac)^6 \cdot (-2a^2c)^5;$

е) $3p^2q \cdot (-\frac{1}{3}p^3q)^2.$

а) Чтобы упростить выражение $-0,6a^3b(-2a^2b^3)^3$, сначала возведем второй множитель в куб. При возведении произведения в степень, каждый множитель возводится в эту степень: $(-2a^2b^3)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^3)^3$.
$(-2)^3 = -8$.
$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$.
$(b^3)^3 = b^{3 \cdot 3} = b^9$.
Таким образом, $(-2a^2b^3)^3 = -8a^6b^9$.
Теперь умножим результат на первый множитель: $-0,6a^3b \cdot (-8a^6b^9)$.
Перемножим числовые коэффициенты: $-0,6 \cdot (-8) = 4,8$.
Перемножим степени с одинаковыми основаниями: $a^3 \cdot a^6 = a^{3+6} = a^9$ и $b^1 \cdot b^9 = b^{1+9} = b^{10}$.
Соединяем все части вместе: $4,8a^9b^{10}$.
Ответ: $4,8a^9b^{10}$.

б) В выражении $0,8xy^4(-6xy^4)^2$ сначала упростим множитель в скобках, возведя его в квадрат: $(-6xy^4)^2 = (-6)^2 \cdot x^2 \cdot (y^4)^2$.
$(-6)^2 = 36$.
$(y^4)^2 = y^{4 \cdot 2} = y^8$.
Значит, $(-6xy^4)^2 = 36x^2y^8$.
Теперь умножим $0,8xy^4$ на $36x^2y^8$: $0,8xy^4 \cdot 36x^2y^8 = (0,8 \cdot 36) \cdot (x \cdot x^2) \cdot (y^4 \cdot y^8)$.
$0,8 \cdot 36 = 28,8$.
$x \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3$.
$y^4 \cdot y^8 = y^{4+8} = y^{12}$.
Получаем итоговое выражение: $28,8x^3y^{12}$.
Ответ: $28,8x^3y^{12}$.

в) Рассмотрим выражение $-a^4b^7(-3ab)^2$. Начнем с возведения в квадрат второго множителя: $(-3ab)^2 = (-3)^2 \cdot a^2 \cdot b^2 = 9a^2b^2$.
Далее, умножим первый множитель на полученный результат: $-a^4b^7 \cdot (9a^2b^2)$.
Коэффициент будет равен $-1 \cdot 9 = -9$.
Перемножим степени с основанием $a$: $a^4 \cdot a^2 = a^{4+2} = a^6$.
Перемножим степени с основанием $b$: $b^7 \cdot b^2 = b^{7+2} = b^9$.
Объединив все, получим: $-9a^6b^9$.
Ответ: $-9a^6b^9$.

г) Для упрощения $(7x^2y)^2 \cdot (-7y^{11})$ сначала возведем в квадрат первый множитель: $(7x^2y)^2 = 7^2 \cdot (x^2)^2 \cdot y^2 = 49x^4y^2$.
Теперь умножим полученное выражение на второй множитель: $49x^4y^2 \cdot (-7y^{11})$.
Перемножим коэффициенты: $49 \cdot (-7) = -343$.
Степени $x$ не с чем перемножать, поэтому $x^4$ остается.
Перемножим степени $y$: $y^2 \cdot y^{11} = y^{2+11} = y^{13}$.
Результат: $-343x^4y^{13}$.
Ответ: $-343x^4y^{13}$.

д) В выражении $(-ac)^6 \cdot (-2a^2c)^5$ возведем в степень каждый множитель отдельно.
Первый множитель: $(-ac)^6 = (-1)^6 \cdot a^6 \cdot c^6 = a^6c^6$ (так как степень четная, минус исчезает).
Второй множитель: $(-2a^2c)^5 = (-2)^5 \cdot (a^2)^5 \cdot c^5 = -32a^{10}c^5$ (так как степень нечетная, минус сохраняется).
Теперь перемножим результаты: $a^6c^6 \cdot (-32a^{10}c^5)$.
Коэффициент будет $-32$.
Степени с основанием $a$: $a^6 \cdot a^{10} = a^{6+10} = a^{16}$.
Степени с основанием $c$: $c^6 \cdot c^5 = c^{6+5} = c^{11}$.
Итоговое выражение: $-32a^{16}c^{11}$.
Ответ: $-32a^{16}c^{11}$.

е) Упростим выражение $3p^2q \cdot (-\frac{1}{3}p^3q)^2$. Сначала возведем в квадрат второй множитель.
$(-\frac{1}{3}p^3q)^2 = (-\frac{1}{3})^2 \cdot (p^3)^2 \cdot q^2 = \frac{1}{9}p^{6}q^2$.
Теперь умножим первый множитель на полученный результат: $3p^2q \cdot (\frac{1}{9}p^6q^2)$.
Перемножим коэффициенты: $3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Перемножим степени с основанием $p$: $p^2 \cdot p^6 = p^{2+6} = p^8$.
Перемножим степени с основанием $q$: $q^1 \cdot q^2 = q^{1+2} = q^3$.
Собираем все вместе: $\frac{1}{3}p^8q^3$.
Ответ: $\frac{1}{3}p^8q^3$.

494. Решите графически уравнение:

a) $x^2 = x + 6;$

б) $x^2 + 2x - 3 = 0.$

а) $x^2 = x + 6$

Для решения этого уравнения графическим методом необходимо построить в одной системе координат графики двух функций, соответствующих левой и правой частям уравнения:
1. $y = x^2$ (парабола)
2. $y = x + 6$ (прямая)
Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков и будут являться решениями исходного уравнения.

Построим график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Составим таблицу значений:

Построим график функции $y = x + 6$. Это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек:

• Если $x=0$, то $y = 0 + 6 = 6$. Точка (0, 6).
• Если $x=-2$, то $y = -2 + 6 = 4$. Точка (-2, 4).

Совместив графики на одной координатной плоскости, мы увидим точки их пересечения.

Из графика видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках с координатами: $(-2, 4)$ и $(3, 9)$.
Абсциссы этих точек, $x = -2$ и $x = 3$, являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 3$.

б) $x^2 + 2x - 3 = 0$

Для графического решения этого уравнения построим график квадратичной функции $y = x^2 + 2x - 3$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этого графика с осью абсцисс (осью $Ox$), поскольку для точек на этой оси ордината $y=0$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 3$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot 1) = -1$.
$y_v = f(x_v) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат и несколько дополнительных точек для построения графика:

• Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$. Точка (0, -3).
• Возьмем симметричную точку относительно оси параболы $x=-1$: точка (-2, -3).
• Возьмем $x=1$: $y = 1^2 + 2(1) - 3 = 0$. Точка (1, 0).
• Возьмем $x=-3$: $y = (-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$. Точка (-3, 0).

Построим параболу по найденным точкам.

График пересекает ось абсцисс $Ox$ в точках, где $y=0$. Из построенного графика видно, что это точки $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.
Абсциссы этих точек, $x = -3$ и $x = 1$, являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 1$.

497. Сравните значения выражений:

а) $0,3^{16}$ и $(-0,3)^{16}$;

б) $(-1,9)^{21}$ и $1,9^{21}$;

в) $-5,6^4$ и $(-5,6)^4$;

г) $(-1,4)^6$ и $-1,4^6$;

д) $-64$ и $-2^6$;

е) $-0,8^{11}$ и $(-0,8)^{11}$.

а) Сравним $0,3^{16}$ и $(-0,3)^{16}$.

Второе выражение, $(-0,3)^{16}$, представляет собой возведение отрицательного числа в четную степень. Результатом возведения любого ненулевого числа в четную степень является положительное число. Так как основания степеней равны по модулю ($|0,3| = |-0,3|$), а показатели степеней одинаковы и являются четными числами, то значения выражений равны.

$(-0,3)^{16} = ((-1) \cdot 0,3)^{16} = (-1)^{16} \cdot 0,3^{16} = 1 \cdot 0,3^{16} = 0,3^{16}$.

Следовательно, $0,3^{16} = (-0,3)^{16}$.

Ответ: $0,3^{16} = (-0,3)^{16}$.

б) Сравним $(-1,9)^{21}$ и $1,9^{21}$.

Выражение $(-1,9)^{21}$ представляет собой возведение отрицательного числа в нечетную степень. Результат будет отрицательным. Выражение $1,9^{21}$ представляет собой возведение положительного числа в степень, результат будет положительным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа.

Следовательно, $(-1,9)^{21} < 1,9^{21}$.

Ответ: $(-1,9)^{21} < 1,9^{21}$.

в) Сравним $-5,6^4$ и $(-5,6)^4$.

В выражении $-5,6^4$ операция возведения в степень относится только к числу $5,6$. То есть, $-5,6^4 = -(5,6^4)$. Это отрицательное число. В выражении $(-5,6)^4$ в степень возводится число $-5,6$. Так как степень $4$ — четная, результат будет положительным. Положительное число всегда больше отрицательного.

Следовательно, $-5,6^4 < (-5,6)^4$.

Ответ: $-5,6^4 < (-5,6)^4$.

г) Сравним $(-1,4)^6$ и $-1,4^6$.

Выражение $(-1,4)^6$ — это возведение отрицательного числа в четную степень $6$. Результат будет положительным. Выражение $-1,4^6$ означает $-(1,4^6)$, то есть является отрицательным числом. Любое положительное число больше любого отрицательного.

Следовательно, $(-1,4)^6 > -1,4^6$.

Ответ: $(-1,4)^6 > -1,4^6$.

д) Сравним $-64$ и $-2^6$.

Вычислим значение второго выражения. В выражении $-2^6$ операция возведения в степень относится только к числу $2$, а знак минус стоит перед результатом.

$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$.

Таким образом, $-2^6 = -64$. Сравниваем $-64$ и $-64$.

Следовательно, $-64 = -2^6$.

Ответ: $-64 = -2^6$.

е) Сравним $-0,8^{11}$ и $(-0,8)^{11}$.

В выражении $-0,8^{11}$ степень относится только к числу $0,8$, а минус стоит перед результатом: $-(0,8^{11})$. Результат отрицательный. В выражении $(-0,8)^{11}$ отрицательное число $-0,8$ возводится в нечетную степень $11$. Результат также будет отрицательным: $(-0,8)^{11} = -0,8^{11}$.

Следовательно, значения выражений равны.

Ответ: $-0,8^{11} = (-0,8)^{11}$.

2. Представьте в стандартном виде одночлен $5ab^2 \cdot (-3a^4b)$ и укажите его коэффициент.

Чтобы представить одночлен в стандартном виде, необходимо перемножить все его числовые и буквенные множители. Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя, который называется коэффициентом, и степеней различных переменных.

Исходное выражение: $5ab^2 \cdot (-3a^4b)$.

1. Сначала перемножим числовые коэффициенты:

$5 \cdot (-3) = -15$

2. Затем перемножим степени с одинаковыми буквенными основаниями. Для этого воспользуемся свойством степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

Для переменной a: $a \cdot a^4 = a^1 \cdot a^4 = a^{1+4} = a^5$

Для переменной b: $b^2 \cdot b = b^2 \cdot b^1 = b^{2+1} = b^3$

3. Теперь объединим полученные результаты, записав сначала числовой множитель, а затем буквенные множители в алфавитном порядке. Получим стандартный вид одночлена:

$-15a^5b^3$

4. Коэффициент одночлена, записанного в стандартном виде, — это его числовой множитель. В данном случае коэффициент равен $-15$.

Ответ: Стандартный вид одночлена: $-15a^5b^3$, его коэффициент: $-15$.

5. Сформулируйте свойства функции $y = x^3$. Как отражаются эти свойства на графике функции $y = x^3$?

Рассмотрим основные свойства функции $y = x^3$ и то, как они отражаются на ее графике (кубической параболе).

1. Область определения

Свойство: Функция определена для всех действительных чисел, так как любое число можно возвести в третью степень. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Отражение на графике: График функции является сплошной линией, которая простирается бесконечно влево и вправо вдоль оси абсцисс (Ox). Для любого значения $x$ существует соответствующая точка на графике.

Ответ: Область определения функции — множество всех действительных чисел, $D(y) = \mathbb{R}$. График не имеет вертикальных асимптот и простирается по всей оси Ox.

2. Область значений

Свойство: Функция может принимать любое действительное значение. Для любого числа $a \in \mathbb{R}$ найдется такое $x$, что $x^3 = a$ (а именно $x = \sqrt[3]{a}$). Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Отражение на графике: График функции простирается бесконечно вверх и вниз вдоль оси ординат (Oy), занимая все значения по вертикали.

Ответ: Область значений функции — множество всех действительных чисел, $E(y) = \mathbb{R}$. График неограничен сверху и снизу.

3. Четность

Свойство: Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$. Проверка: $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$.

Отражение на графике: График функции симметричен относительно начала координат (точки O(0,0)). Это означает, что если точка $(a, b)$ принадлежит графику, то и точка $(-a, -b)$ также ему принадлежит (например, точки (2, 8) и (-2, -8)).

Ответ: Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

4. Нули функции

Свойство: Функция обращается в ноль только в одной точке. Уравнение $y=0$, то есть $x^3=0$, имеет единственный корень $x=0$.

Отражение на графике: График функции пересекает обе оси координат (Ox и Oy) в одной и той же точке — начале координат (0,0).

Ответ: Функция имеет один ноль: $x=0$. График проходит через начало координат.

5. Промежутки знакопостоянства

Свойство: Функция положительна ($y > 0$) при $x^3 > 0$, то есть при $x > 0$. Функция отрицательна ($y < 0$) при $x^3 < 0$, то есть при $x < 0$.

Отражение на графике: При $x > 0$ график лежит выше оси Ox (в I координатной четверти). При $x < 0$ график лежит ниже оси Ox (в III координатной четверти).

Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$. График расположен в I и III координатных четвертях.

6. Монотонность

Свойство: Функция является строго возрастающей на всей области определения. Для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $x_2^3 > x_1^3$.

Отражение на графике: При движении по графику слева направо он непрерывно поднимается вверх.

Ответ: Функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

7. Экстремумы

Свойство: У функции отсутствуют точки локального максимума и минимума, так как она монотонно возрастает на всей области определения.

Отражение на графике: График не имеет "вершин" (локальных максимумов) и "впадин" (локальных минимумов).

Ответ: Функция не имеет экстремумов.

8. Непрерывность

Свойство: Функция непрерывна на всей своей области определения, так как является степенной функцией.

Отражение на графике: График представляет собой сплошную, неразрывную кривую, которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси. График является сплошной линией без разрывов.

9. Выпуклость и вогнутость

Свойство: На промежутке $(-\infty; 0)$ функция является выпуклой (или выпуклой вверх), а на промежутке $(0; +\infty)$ — вогнутой (или выпуклой вниз). Точка $x=0$ является точкой перегиба.

Отражение на графике: В точке (0,0) график меняет направление изгиба: слева от нуля он "смотрит" выпуклостью вверх, а справа — выпуклостью вниз. Это придает графику, называемому кубической параболой, характерную S-образную форму.

Ответ: Функция выпукла на $(-\infty; 0)$ и вогнута на $(0; +\infty)$. Точка (0,0) — точка перегиба графика.

3 Сформулируйте определение степени одночлена. Приведите пример одночлена пятой степени.

Сформулируйте определение степени одночлена.

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Стандартным видом одночлена является его представление в виде произведения числового коэффициента (стоящего на первом месте) и степеней различных переменных.

Для одночлена, содержащего переменные, его степень равна сумме их показателей. Например, степень одночлена $12x^3y^2$ равна $3 + 2 = 5$.

Степень одночлена, который представляет собой число, отличное от нуля (например, 8), считается равной нулю. Это следует из того, что любое число $c \ne 0$ можно представить в виде $c \cdot a^0$.

Степень нулевого одночлена (числа 0) не определена.

Ответ: Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен является числом, отличным от нуля, его степень равна нулю.

Приведите пример одночлена пятой степени.

Одночлен пятой степени — это одночлен, в котором сумма показателей степеней всех его переменных равна 5. Примером такого одночлена является $7a^2b^3$.

Для проверки найдём сумму показателей степеней переменных $a$ и $b$: показатель степени переменной $a$ равен 2, показатель степени переменной $b$ равен 3. Их сумма: $2 + 3 = 5$.

Следовательно, $7a^2b^3$ — это одночлен пятой степени.

Другие примеры одночленов пятой степени: $x^5$; $-4mnp^3$ (сумма показателей $1+1+3=5$); $abc^3$ (сумма показателей $1+1+3=5$).

Ответ: $7a^2b^3$.

1 Приведите пример одночлена стандартного вида.

Одночлен стандартного вида — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение числового множителя (называемого коэффициентом) и одной или нескольких переменных, каждая из которых возведена в неотрицательную целую степень.

Чтобы одночлен был записан в стандартном виде, он должен удовлетворять двум основным условиям:

1. Он имеет только один числовой множитель (коэффициент), который записан на первом месте.
2. Каждая переменная в его записи встречается только один раз. Обычно переменные располагают в алфавитном порядке.

Например, выражение $3x^2 \cdot 4y \cdot x$ не является одночленом стандартного вида, так как здесь два числовых множителя (3 и 4) и переменная $x$ встречается дважды. Чтобы привести его к стандартному виду, необходимо выполнить умножение:

$3x^2 \cdot 4y \cdot x = (3 \cdot 4) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot y = 12x^{2+1}y = 12x^3y$

Выражение $12x^3y$ является одночленом стандартного вида, где 12 — это коэффициент.

Вот несколько примеров одночленов стандартного вида:

• $5a^2b$
• $-7x^4yz^2$
• $0.5c^3$
• $m$ (коэффициент равен 1, который принято не писать)
• $15$ (число также является одночленом)

Ответ: $7a^4b^2c$.

4 Сформулируйте свойства функции $y = x^2$. Как отражаются эти свойства на графике функции $y = x^2$?

Функция $y = x^2$ — это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Рассмотрим ее основные свойства и их графическое отражение.

1. Область определения

Свойство: Функция определена для всех действительных чисел, так как любое число можно возвести в квадрат. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Отражение на графике: График функции (парабола) простирается бесконечно влево и вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$), то есть для любой точки на оси $x$ можно найти соответствующую ей точку на параболе.

Ответ: Область определения — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений

Свойство: Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным ($x^2 \ge 0$), значения функции $y$ всегда больше или равны нулю. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

Отражение на графике: Вся парабола расположена в верхней полуплоскости (выше оси $Ox$), включая саму ось. Самая нижняя точка графика имеет ординату $y=0$.

Ответ: Область значений — промежуток $[0; +\infty)$.

3. Нули функции

Свойство: Функция обращается в ноль только в одной точке: если $y=0$, то $x^2=0$, откуда $x=0$.

Отражение на графике: График функции имеет только одну общую точку с осью абсцисс — это начало координат $(0, 0)$.

Ответ: Нуль функции $x=0$.

4. Четность

Свойство: Функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$.

Отражение на графике: График функции симметричен относительно оси ординат ($Oy$). Это означает, что если точка $(a, b)$ принадлежит параболе, то и точка $(-a, b)$ также ей принадлежит.

Ответ: Функция четная.

5. Промежутки монотонности

Свойство: Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Отражение на графике: Левая ветвь параболы (для $x<0$) направлена вниз (при движении слева направо график идет вниз), а правая ветвь (для $x>0$) направлена вверх (при движении слева направо график идет вверх). Точка $(0,0)$ является точкой перехода от убывания к возрастанию.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.

6. Экстремумы

Свойство: В точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения: $y_{\min} = 0^2 = 0$. Наибольшего значения у функции не существует.

Отражение на графике: Точка $(0, 0)$ является самой низкой точкой графика — это точка минимума. Эта точка называется вершиной параболы.

Ответ: Точка минимума $x=0$, наименьшее значение функции $y_{\min}=0$.

7. Ограниченность

Свойство: Функция ограничена снизу числом 0, так как $y \ge 0$ для всех $x$. Сверху функция не ограничена.

Отражение на графике: График функции имеет "пол" на уровне оси $Ox$, ниже которого он не опускается, но его ветви уходят бесконечно вверх.

Ответ: Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.