Номер 4, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 8. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 4, страница 118.

Условие.

4 Сформулируйте свойства функции $y = x^2$. Как отражаются эти свойства на графике функции $y = x^2$?

Решение 1.

Решение 5.

Функция $y = x^2$ — это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Рассмотрим ее основные свойства и их графическое отражение.

1. Область определения

Свойство: Функция определена для всех действительных чисел, так как любое число можно возвести в квадрат. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Отражение на графике: График функции (парабола) простирается бесконечно влево и вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$), то есть для любой точки на оси $x$ можно найти соответствующую ей точку на параболе.

Ответ: Область определения — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений

Свойство: Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным ($x^2 \ge 0$), значения функции $y$ всегда больше или равны нулю. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

Отражение на графике: Вся парабола расположена в верхней полуплоскости (выше оси $Ox$), включая саму ось. Самая нижняя точка графика имеет ординату $y=0$.

Ответ: Область значений — промежуток $[0; +\infty)$.

3. Нули функции

Свойство: Функция обращается в ноль только в одной точке: если $y=0$, то $x^2=0$, откуда $x=0$.

Отражение на графике: График функции имеет только одну общую точку с осью абсцисс — это начало координат $(0, 0)$.

Ответ: Нуль функции $x=0$.

4. Четность

Свойство: Функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$.

Отражение на графике: График функции симметричен относительно оси ординат ($Oy$). Это означает, что если точка $(a, b)$ принадлежит параболе, то и точка $(-a, b)$ также ей принадлежит.

Ответ: Функция четная.

5. Промежутки монотонности

Свойство: Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Отражение на графике: Левая ветвь параболы (для $x<0$) направлена вниз (при движении слева направо график идет вниз), а правая ветвь (для $x>0$) направлена вверх (при движении слева направо график идет вверх). Точка $(0,0)$ является точкой перехода от убывания к возрастанию.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.

6. Экстремумы

Свойство: В точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения: $y_{\min} = 0^2 = 0$. Наибольшего значения у функции не существует.

Отражение на графике: Точка $(0, 0)$ является самой низкой точкой графика — это точка минимума. Эта точка называется вершиной параболы.

Ответ: Точка минимума $x=0$, наименьшее значение функции $y_{\min}=0$.

7. Ограниченность

Свойство: Функция ограничена снизу числом 0, так как $y \ge 0$ для всех $x$. Сверху функция не ограничена.

Отражение на графике: График функции имеет "пол" на уровне оси $Ox$, ниже которого он не опускается, но его ветви уходят бесконечно вверх.

Ответ: Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.