Номер 5, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 8. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 5, страница 118.

Условие.

5. Сформулируйте свойства функции $y = x^3$. Как отражаются эти свойства на графике функции $y = x^3$?

Решение 1.

Решение 5.

Рассмотрим основные свойства функции $y = x^3$ и то, как они отражаются на ее графике (кубической параболе).

1. Область определения

Свойство: Функция определена для всех действительных чисел, так как любое число можно возвести в третью степень. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Отражение на графике: График функции является сплошной линией, которая простирается бесконечно влево и вправо вдоль оси абсцисс (Ox). Для любого значения $x$ существует соответствующая точка на графике.

Ответ: Область определения функции — множество всех действительных чисел, $D(y) = \mathbb{R}$. График не имеет вертикальных асимптот и простирается по всей оси Ox.

2. Область значений

Свойство: Функция может принимать любое действительное значение. Для любого числа $a \in \mathbb{R}$ найдется такое $x$, что $x^3 = a$ (а именно $x = \sqrt[3]{a}$). Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Отражение на графике: График функции простирается бесконечно вверх и вниз вдоль оси ординат (Oy), занимая все значения по вертикали.

Ответ: Область значений функции — множество всех действительных чисел, $E(y) = \mathbb{R}$. График неограничен сверху и снизу.

3. Четность

Свойство: Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$. Проверка: $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$.

Отражение на графике: График функции симметричен относительно начала координат (точки O(0,0)). Это означает, что если точка $(a, b)$ принадлежит графику, то и точка $(-a, -b)$ также ему принадлежит (например, точки (2, 8) и (-2, -8)).

Ответ: Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

4. Нули функции

Свойство: Функция обращается в ноль только в одной точке. Уравнение $y=0$, то есть $x^3=0$, имеет единственный корень $x=0$.

Отражение на графике: График функции пересекает обе оси координат (Ox и Oy) в одной и той же точке — начале координат (0,0).

Ответ: Функция имеет один ноль: $x=0$. График проходит через начало координат.

5. Промежутки знакопостоянства

Свойство: Функция положительна ($y > 0$) при $x^3 > 0$, то есть при $x > 0$. Функция отрицательна ($y < 0$) при $x^3 < 0$, то есть при $x < 0$.

Отражение на графике: При $x > 0$ график лежит выше оси Ox (в I координатной четверти). При $x < 0$ график лежит ниже оси Ox (в III координатной четверти).

Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$. График расположен в I и III координатных четвертях.

6. Монотонность

Свойство: Функция является строго возрастающей на всей области определения. Для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $x_2^3 > x_1^3$.

Отражение на графике: При движении по графику слева направо он непрерывно поднимается вверх.

Ответ: Функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

7. Экстремумы

Свойство: У функции отсутствуют точки локального максимума и минимума, так как она монотонно возрастает на всей области определения.

Отражение на графике: График не имеет "вершин" (локальных максимумов) и "впадин" (локальных минимумов).

Ответ: Функция не имеет экстремумов.

8. Непрерывность

Свойство: Функция непрерывна на всей своей области определения, так как является степенной функцией.

Отражение на графике: График представляет собой сплошную, неразрывную кривую, которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси. График является сплошной линией без разрывов.

9. Выпуклость и вогнутость

Свойство: На промежутке $(-\infty; 0)$ функция является выпуклой (или выпуклой вверх), а на промежутке $(0; +\infty)$ — вогнутой (или выпуклой вниз). Точка $x=0$ является точкой перегиба.

Отражение на графике: В точке (0,0) график меняет направление изгиба: слева от нуля он "смотрит" выпуклостью вверх, а справа — выпуклостью вниз. Это придает графику, называемому кубической параболой, характерную S-образную форму.

Ответ: Функция выпукла на $(-\infty; 0)$ и вогнута на $(0; +\infty)$. Точка (0,0) — точка перегиба графика.