Номер 501, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. О простых и составных числах. Параграф 8. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 501, страница 120.

Условие.

501. Докажите, что значение выражения является составным числом:

а) $15^9 + 31^3$;

б) $16^7 + 25^5 - 41^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $15^9 + 31^3$ является составным числом, покажем, что оно делится на число, отличное от 1 и самого себя. Для этого проанализируем четность слагаемых.

Число 15 является нечетным. Любая натуральная степень нечетного числа также является нечетным числом. Следовательно, $15^9$ – нечетное число.

Аналогично, число 31 является нечетным, поэтому его степень $31^3$ также будет нечетным числом.

Сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом. Таким образом, значение выражения $15^9 + 31^3$ является четным, так как это сумма двух нечетных чисел.

Любое четное число делится на 2. Поскольку оба слагаемых, $15^9$ и $31^3$, являются положительными числами, их сумма — это положительное число, очевидно большее 2. Так как значение выражения является четным числом, большим 2, оно имеет делитель 2. Следовательно, это число является составным.

Ответ: Значение выражения является четным числом, большим 2, и, следовательно, является составным.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $16^7 + 25^5 - 41^4$ является составным числом, определим последнюю цифру этого значения.

Найдем последнюю цифру каждого компонента выражения.

Последняя цифра числа $16^7$: любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также оканчивается на 6. Значит, $16^7$ оканчивается на 6.

Последняя цифра числа $25^5$: любая натуральная степень (больше 0) числа, оканчивающегося на 5, также оканчивается на 5. Значит, $25^5$ оканчивается на 5.

Последняя цифра числа $41^4$: любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также оканчивается на 1. Значит, $41^4$ оканчивается на 1.

Теперь найдем последнюю цифру значения всего выражения. Для этого выполним действия с последними цифрами: последняя цифра результата операции $...6 + ...5 - ...1$ совпадает с последней цифрой числа $6 + 5 - 1 = 10$. Таким образом, значение всего выражения оканчивается на 0.

Любое целое число, которое оканчивается на 0, делится на 10 (а следовательно, на 2 и 5). Это означает, что значение выражения имеет делители, отличные от 1 и самого себя, при условии, что оно не равно 0 или $\pm 10$.

Оценим величину выражения, чтобы убедиться, что оно является положительным числом, большим 10. Сравним $16^7$ и $41^4$. Так как $16^7 = (2^4)^7 = 2^{28}$, а $41^4 < 64^4 = (2^6)^4 = 2^{24}$, то очевидно, что $16^7 > 41^4$. Значит, разность $16^7 - 41^4$ положительна. Если к положительному числу прибавить другое положительное число $25^5$, результат будет положительным и, очевидно, очень большим (гораздо больше 10).

Поскольку значение выражения — это положительное число, которое оканчивается на 0 и больше 10, оно является составным.

Ответ: Значение выражения оканчивается на 0, то есть делится на 10, и является положительным числом, большим 10, следовательно, оно составное.