Номер 506, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. О простых и составных числах. Параграф 8. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 506, страница 121.

Условие.

506. Разложите на простые множители число $a$, если

$a = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы разложить число $a$ на простые множители, необходимо представить каждый из множителей в его определении в виде произведения простых чисел. Число $a$ задано как произведение целых чисел от 1 до 10:

$a = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10$

Разложим на простые множители все составные числа из этого произведения:

$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$

$6 = 2 \cdot 3$

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$

$10 = 2 \cdot 5$

Простые числа в произведении — это 2, 3, 5, 7. Множитель 1 не является простым числом и не влияет на итоговое разложение.

Теперь подставим полученные разложения в исходное выражение для $a$:

$a = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (2^2) \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2^3) \cdot (3^2) \cdot (2 \cdot 5)$

Сгруппируем одинаковые простые множители и найдем их общую степень, сложив показатели степеней для каждого простого множителя:

Для множителя 2: он содержится в числах 2 (степень 1), 4 (степень 2), 6 (степень 1), 8 (степень 3) и 10 (степень 1). Суммарная степень: $1 + 2 + 1 + 3 + 1 = 8$. Получаем множитель $2^8$.

Для множителя 3: он содержится в числах 3 (степень 1), 6 (степень 1) и 9 (степень 2). Суммарная степень: $1 + 1 + 2 = 4$. Получаем множитель $3^4$.

Для множителя 5: он содержится в числах 5 (степень 1) и 10 (степень 1). Суммарная степень: $1 + 1 = 2$. Получаем множитель $5^2$.

Для множителя 7: он содержится в числе 7 (степень 1). Получаем множитель $7^1$ или просто 7.

Собрав все вместе, получаем каноническое разложение числа $a$ на простые множители:

$a = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$

Ответ: $a = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$.