Номер 509, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. О простых и составных числах. Параграф 8. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 509, страница 121.

Условие.

509. В последовательностях записаны в порядке возрастания все натуральные числа, которые не превосходят 200, причём в первой последовательности записаны числа, кратные 6, а во второй — кратные 8:

$6, 12, 18, \dots;$

$8, 16, 24, \dots.$

Сколько в этих последовательностях одинаковых чисел?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения количества одинаковых чисел в двух последовательностях необходимо определить, какие числа являются общими для них. Первая последовательность состоит из натуральных чисел, кратных 6, а вторая — из натуральных чисел, кратных 8. Все числа в обеих последовательностях не превосходят 200.

Одинаковые числа в этих последовательностях — это те, которые делятся одновременно и на 6, и на 8. Такие числа являются общими кратными для 6 и 8. Чтобы найти все такие числа, нужно найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Разложим числа 6 и 8 на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$

Наименьшее общее кратное будет произведением всех простых множителей, взятых в наибольшей степени:
$НОК(6, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Таким образом, одинаковые числа в этих двух последовательностях — это числа, кратные 24. Теперь нам нужно найти, сколько таких чисел, не превосходящих 200, существует. Для этого найдем наибольшее натуральное число $k$, удовлетворяющее неравенству:
$24k \le 200$

Решим это неравенство относительно $k$:
$k \le \frac{200}{24}$
$k \le \frac{25}{3}$
$k \le 8\frac{1}{3}$

Поскольку $k$ — это количество чисел, оно должно быть целым. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 8.

Ответ: 8