Номер 513, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 513, страница 121.

Условие.

513. Разложив число на простые множители, представьте его в виде произведения степеней простых чисел:

а) 54;

б) 144;

в) 225;

г) 500.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) 54;
Чтобы разложить число на простые множители, необходимо последовательно делить его на простые числа (2, 3, 5, 7, ...) до тех пор, пока в результате не останется 1.
Начнем с наименьшего простого числа — 2. Число 54 четное, поэтому делится на 2.
$54 : 2 = 27$
Полученное число 27 нечетное. Проверим делимость на следующее простое число — 3. Сумма цифр числа 27 (2 + 7 = 9) делится на 3, значит, и само число делится на 3.
$27 : 3 = 9$
Число 9 снова делится на 3.
$9 : 3 = 3$
Число 3 — простое. Делим его само на себя.
$3 : 3 = 1$
Таким образом, мы разложили число 54 на простые множители: $54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$.
Теперь сгруппируем одинаковые множители и представим их в виде степеней. У нас один множитель 2 и три множителя 3.
$54 = 2^1 \cdot 3^3$
Ответ: $54 = 2 \cdot 3^3$

б) 144;
Разложим число 144 на простые множители, начиная с наименьшего простого числа 2.
$144 : 2 = 72$
$72 : 2 = 36$
$36 : 2 = 18$
$18 : 2 = 9$
Число 9 не делится на 2, переходим к следующему простому числу — 3.
$9 : 3 = 3$
$3 : 3 = 1$
Простые множители числа 144: 2, 2, 2, 2, 3, 3. Запишем это в виде произведения: $144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$.
Теперь представим это в виде произведения степеней. У нас четыре множителя 2 и два множителя 3.
$144 = 2^4 \cdot 3^2$
Ответ: $144 = 2^4 \cdot 3^2$

в) 225;
Разложим число 225 на простые множители. Число нечетное, на 2 не делится. Проверим делимость на 3. Сумма цифр $2+2+5=9$, так как 9 делится на 3, то и 225 делится на 3.
$225 : 3 = 75$
Проверим число 75. Сумма цифр $7+5=12$, 12 делится на 3.
$75 : 3 = 25$
Число 25 на 3 не делится. Следующее простое число — 5. Так как 25 оканчивается на 5, оно делится на 5.
$25 : 5 = 5$
$5 : 5 = 1$
Простые множители числа 225: 3, 3, 5, 5. Произведение: $225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$.
Запишем в виде произведения степеней. У нас два множителя 3 и два множителя 5.
$225 = 3^2 \cdot 5^2$
Ответ: $225 = 3^2 \cdot 5^2$

г) 500;
Разложим число 500 на простые множители. Число четное, делим на 2.
$500 : 2 = 250$
$250 : 2 = 125$
Число 125 нечетное. Сумма цифр $1+2+5=8$, на 3 не делится. Следующее простое число — 5. Число 125 оканчивается на 5, значит, делится на 5.
$125 : 5 = 25$
$25 : 5 = 5$
$5 : 5 = 1$
Простые множители числа 500: 2, 2, 5, 5, 5. Произведение: $500 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.
Представим в виде произведения степеней. У нас два множителя 2 и три множителя 5.
$500 = 2^2 \cdot 5^3$
Ответ: $500 = 2^2 \cdot 5^3$