Страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

480. Представьте выражение в виде одночлена стандартного вида:

а) $25a^4 \cdot (3a^3)^2$;

б) $(-3b^6)^4 \cdot b$;

в) $8p^{15} \cdot (-p)^4$;

г) $(-c^2)^3 \cdot 0,15c^4$;

д) $(-10c^2)^4 \cdot 0,0001c^{11}$;

е) $(3b^5)^2 \cdot \frac{2}{9}b^3$;

ж) $(-2x^3)^2 \cdot (-\frac{1}{4}x^4)$;

з) $(-\frac{1}{2}y^4)^3 \cdot (-16y^2)$.

а) $25a^4 \cdot (3a^3)^2$

Чтобы представить выражение в виде одночлена стандартного вида, сначала упростим множитель в скобках, возведя его в степень. Для этого используем свойства степени: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

$(3a^3)^2 = 3^2 \cdot (a^3)^2 = 9a^{3 \cdot 2} = 9a^6$

Теперь умножим полученный одночлен на первый множитель:

$25a^4 \cdot 9a^6$

Перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием (используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$(25 \cdot 9) \cdot (a^4 \cdot a^6) = 225a^{4+6} = 225a^{10}$

Ответ: $225a^{10}$

б) $(-3b^6)^4 \cdot b$

Сначала возведем первый множитель в четвертую степень. Так как степень четная, отрицательный знак у коэффициента исчезнет.

$(-3b^6)^4 = (-3)^4 \cdot (b^6)^4 = 81 \cdot b^{6 \cdot 4} = 81b^{24}$

Теперь умножим результат на второй множитель:

$81b^{24} \cdot b = 81b^{24+1} = 81b^{25}$

Ответ: $81b^{25}$

в) $8p^{15} \cdot (-p)^4$

Возведем второй множитель в четвертую степень. Так как степень четная, знак минус исчезает.

$(-p)^4 = p^4$

Теперь выполним умножение:

$8p^{15} \cdot p^4 = 8p^{15+4} = 8p^{19}$

Ответ: $8p^{19}$

г) $(-c^2)^3 \cdot 0,15c^4$

Возведем первый множитель в третью степень. Так как степень нечетная, знак минус сохраняется.

$(-c^2)^3 = (-1)^3 \cdot (c^2)^3 = -1 \cdot c^{2 \cdot 3} = -c^6$

Теперь умножим полученные одночлены:

$-c^6 \cdot 0,15c^4 = -1 \cdot 0,15 \cdot c^{6+4} = -0,15c^{10}$

Ответ: $-0,15c^{10}$

д) $(-10c^2)^4 \cdot 0,0001c^{11}$

Возведем первый множитель в четвертую степень:

$(-10c^2)^4 = (-10)^4 \cdot (c^2)^4 = 10000c^{2 \cdot 4} = 10000c^8$

Теперь выполним умножение:

$10000c^8 \cdot 0,0001c^{11} = (10000 \cdot 0,0001) \cdot c^{8+11} = 1 \cdot c^{19} = c^{19}$

Ответ: $c^{19}$

е) $(3b^5)^2 \cdot \frac{2}{9}b^3$

Возведем первый множитель в квадрат:

$(3b^5)^2 = 3^2 \cdot (b^5)^2 = 9b^{5 \cdot 2} = 9b^{10}$

Теперь выполним умножение:

$9b^{10} \cdot \frac{2}{9}b^3 = (9 \cdot \frac{2}{9}) \cdot (b^{10} \cdot b^3) = 2b^{10+3} = 2b^{13}$

Ответ: $2b^{13}$

ж) $(-2x^3)^2 \cdot (-\frac{1}{4}x^4)$

Возведем первый множитель в квадрат:

$(-2x^3)^2 = (-2)^2 \cdot (x^3)^2 = 4x^{3 \cdot 2} = 4x^6$

Теперь выполним умножение:

$4x^6 \cdot (-\frac{1}{4}x^4) = (4 \cdot (-\frac{1}{4})) \cdot (x^6 \cdot x^4) = -1 \cdot x^{6+4} = -x^{10}$

Ответ: $-x^{10}$

з) $(-\frac{1}{2}y^4)^3 \cdot (-16y^2)$

Возведем первый множитель в куб:

$(-\frac{1}{2}y^4)^3 = (-\frac{1}{2})^3 \cdot (y^4)^3 = -\frac{1}{8}y^{4 \cdot 3} = -\frac{1}{8}y^{12}$

Теперь выполним умножение:

$-\frac{1}{8}y^{12} \cdot (-16y^2) = (-\frac{1}{8} \cdot (-16)) \cdot (y^{12} \cdot y^2) = \frac{16}{8}y^{12+2} = 2y^{14}$

Ответ: $2y^{14}$

483. Точка $A(a; -3)$ симметрична точке $B(4; b)$ относительно:

а) оси абсцисс;

б) оси ординат;

в) начала координат.

Найдите значения $a$ и $b$.

Даны точки $A(a; -3)$ и $B(4; b)$. Мы должны найти значения $a$ и $b$ для трех случаев симметрии.

а) оси абсцисс

Симметрия относительно оси абсцисс (оси Ox) означает, что для двух симметричных точек $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ их абсциссы равны, а ординаты являются противоположными числами. Математически это выражается так: $x_1 = x_2$ и $y_1 = -y_2$.

Применим это правило к нашим точкам $A(a; -3)$ и $B(4; b)$:

Координата $x$ точки A должна быть равна координате $x$ точки B: $a = 4$

Координата $y$ точки A должна быть противоположна координате $y$ точки B: $-3 = -b$

Умножив обе части второго уравнения на $-1$, получим: $b = 3$

Ответ: $a = 4, b = 3$.

б) оси ординат

Симметрия относительно оси ординат (оси Oy) означает, что для двух симметричных точек $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ их абсциссы являются противоположными числами, а ординаты равны. Математически это выражается так: $x_1 = -x_2$ и $y_1 = y_2$.

Применим это правило к нашим точкам $A(a; -3)$ и $B(4; b)$:

Координата $x$ точки A должна быть противоположна координате $x$ точки B: $a = -4$

Координата $y$ точки A должна быть равна координате $y$ точки B: $-3 = b$

Таким образом, мы нашли искомые значения.

Ответ: $a = -4, b = -3$.

в) начала координат

Симметрия относительно начала координат (точки $O(0; 0)$) означает, что для двух симметричных точек $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ обе их координаты являются противоположными числами. Математически это выражается так: $x_1 = -x_2$ и $y_1 = -y_2$.

Применим это правило к нашим точкам $A(a; -3)$ и $B(4; b)$:

Координата $x$ точки A должна быть противоположна координате $x$ точки B: $a = -4$

Координата $y$ точки A должна быть противоположна координате $y$ точки B: $-3 = -b$

Умножив обе части второго уравнения на $-1$, получим: $b = 3$

Ответ: $a = -4, b = 3$.

481. На одном складе было 185 т угля, а на другом — 237 т. Первый склад стал отпускать ежедневно по 15 т угля, а второй — по 18 т. Через сколько дней на втором складе угля будет в полтора раза больше, чем на первом?

Пусть $x$ — искомое количество дней.

Через $x$ дней на первом складе останется $185 - 15x$ тонн угля.

Через $x$ дней на втором складе останется $237 - 18x$ тонн угля.

По условию задачи, через $x$ дней на втором складе угля должно быть в полтора раза (то есть в 1,5 раза) больше, чем на первом. Составим и решим уравнение:

$237 - 18x = 1.5 \cdot (185 - 15x)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$237 - 18x = 277.5 - 22.5x$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числа — в правую, изменив их знаки на противоположные:

$22.5x - 18x = 277.5 - 237$

Приведем подобные слагаемые:

$4.5x = 40.5$

Найдем $x$:

$x = \frac{40.5}{4.5}$

$x = 9$

Проверим полученный результат. Через 9 дней:

На первом складе останется: $185 - 15 \cdot 9 = 185 - 135 = 50$ т.

На втором складе останется: $237 - 18 \cdot 9 = 237 - 162 = 75$ т.

Найдем отношение количества угля на втором складе к количеству на первом: $\frac{75}{50} = 1.5$. Условие выполнено.

Ответ: через 9 дней.

479. Какой одночлен надо возвести в квадрат (в куб), чтобы получить одночлен:

a) $x^6y^{12}$;

б) $1\ 000\ 000m^{18}$?

Чтобы найти исходный одночлен, который нужно возвести в определённую степень, чтобы получить данный одночлен, необходимо выполнить обратную операцию — извлечь корень этой же степени из данного одночлена. Применяется правило извлечения корня из произведения и правило извлечения корня из степени: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{x^k} = x^{k/n}$.

а) Для одночлена $x^6y^{12}$

Найдём одночлен, который надо возвести в квадрат:
Для этого извлечём квадратный корень из $x^6y^{12}$.
$\sqrt{x^6y^{12}} = \sqrt{x^6} \cdot \sqrt{y^{12}} = x^{6/2}y^{12/2} = x^3y^6$.
Поскольку при возведении в квадрат как положительного, так и отрицательного числа результат положителен (например, $A^2 = (-A)^2$), то искомый одночлен может иметь как знак «+», так и «-».
Проверка: $(\pm x^3y^6)^2 = (\pm 1)^2 (x^3)^2 (y^6)^2 = 1 \cdot x^6y^{12} = x^6y^{12}$.
Ответ: $\pm x^3y^6$.

Найдём одночлен, который надо возвести в куб:
Для этого извлечём кубический корень из $x^6y^{12}$.
$\sqrt[3]{x^6y^{12}} = \sqrt[3]{x^6} \cdot \sqrt[3]{y^{12}} = x^{6/3}y^{12/3} = x^2y^4$.
При возведении в нечётную степень знак сохраняется, поэтому здесь только один вариант.
Проверка: $(x^2y^4)^3 = (x^2)^3(y^4)^3 = x^6y^{12}$.
Ответ: $x^2y^4$.

б) Для одночлена $1\,000\,000m^{18}$

Найдём одночлен, который надо возвести в квадрат:
Извлечём квадратный корень из $1\,000\,000m^{18}$.
$\sqrt{1\,000\,000m^{18}} = \sqrt{1\,000\,000} \cdot \sqrt{m^{18}}$.
Коэффициент: $\sqrt{1\,000\,000} = \sqrt{10^6} = 10^{6/2} = 10^3 = 1000$.
Переменная: $\sqrt{m^{18}} = m^{18/2} = m^9$.
Таким образом, получаем $1000m^9$. Учитывая знак, получаем два возможных ответа.
Проверка: $(\pm 1000m^9)^2 = (\pm 1000)^2 (m^9)^2 = 1\,000\,000m^{18}$.
Ответ: $\pm 1000m^9$.

Найдём одночлен, который надо возвести в куб:
Извлечём кубический корень из $1\,000\,000m^{18}$.
$\sqrt[3]{1\,000\,000m^{18}} = \sqrt[3]{1\,000\,000} \cdot \sqrt[3]{m^{18}}$.
Коэффициент: $\sqrt[3]{1\,000\,000} = \sqrt[3]{10^6} = 10^{6/3} = 10^2 = 100$.
Переменная: $\sqrt[3]{m^{18}} = m^{18/3} = m^6$.
Таким образом, получаем $100m^6$.
Проверка: $(100m^6)^3 = 100^3 (m^6)^3 = (10^2)^3 m^{18} = 10^6 m^{18} = 1\,000\,000m^{18}$.
Ответ: $100m^6$.

482. Прямая, являющаяся графиком функции, заданной формулой $y = kx + b$, пересекает оси координат в точках $A (0; 6)$ и $B (-4; 0)$. Найдите $k$ и $b$.

Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Нам известно, что график этой функции проходит через две точки: A(0; 6) и B(-4; 0). Это означает, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению прямой.

Для того чтобы найти значения коэффициентов $k$ и $b$, составим систему уравнений, подставив координаты данных точек в уравнение прямой.

1. Подставим координаты точки A(0; 6) в уравнение $y = kx + b$:
$6 = k \cdot 0 + b$
$6 = 0 + b$
$b = 6$
Коэффициент $b$ в уравнении прямой $y = kx + b$ показывает ординату точки пересечения графика с осью $y$. Поскольку точка A(0; 6) и есть эта точка пересечения, то $b=6$.

2. Теперь, зная значение $b$, подставим координаты точки B(-4; 0) в уравнение $y = kx + 6$:
$0 = k \cdot (-4) + 6$
$0 = -4k + 6$

3. Решим полученное уравнение относительно $k$:
$4k = 6$
$k = \frac{6}{4}$
$k = \frac{3}{2} = 1.5$

Мы нашли искомые коэффициенты. Уравнение прямой выглядит как $y = 1.5x + 6$.

Ответ: $k = 1.5$, $b = 6$.