Страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

435. (Для работы в парах.) Бассейн, имеющий форму куба, наполняется водой через трубу за 40 мин. Успеют ли за 5 ч наполнить водой через ту же трубу бассейн, имеющий форму куба, ребро которого вдвое больше?

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.

2) Выполните самостоятельно вычисления.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.

Можно предположить, что раз ребро бассейна стало в 2 раза больше, то и времени на его заполнение потребуется в 2 раза больше, то есть $40 \text{ мин} \times 2 = 80 \text{ мин}$, или 1 час 20 минут. Так как 5 часов — это гораздо больше, то можно сделать вывод, что они успеют.

Однако объем куба зависит от длины ребра в третьей степени. Если ребро увеличится в 2 раза, то объем увеличится не в 2, а в $2^3 = 8$ раз. Следовательно, времени понадобится в 8 раз больше. $40 \text{ мин} \times 8 = 320 \text{ мин}$. Пять часов — это $5 \times 60 = 300 \text{ мин}$. Так как $320 > 300$, то, скорее всего, наполнить бассейн за 5 часов не успеют. Это более обоснованное предположение.

2) Выполните самостоятельно вычисления.

Пусть $a$ — длина ребра первого бассейна. Тогда его объем $V_1 = a^3$.
Время наполнения первого бассейна $t_1 = 40$ минут.

Длина ребра второго бассейна вдвое больше, то есть $2a$.
Его объем $V_2 = (2a)^3 = 2^3 \times a^3 = 8a^3$.

Таким образом, объем второго бассейна в 8 раз больше объема первого: $V_2 = 8V_1$.

Поскольку вода подается через ту же трубу, скорость наполнения (объем в минуту) постоянна. Это значит, что для заполнения в 8 раз большего объема потребуется в 8 раз больше времени.
Время наполнения второго бассейна: $t_2 = t_1 \times 8 = 40 \text{ мин} \times 8 = 320 \text{ минут}$.

Теперь сравним необходимое время с имеющимся. В условии дано 5 часов.
Переведем 5 часов в минуты: $5 \text{ ч} = 5 \times 60 \text{ мин} = 300 \text{ минут}$.

Сравниваем время: $320 \text{ минут} > 300 \text{ минут}$.

Необходимое для заполнения бассейна время (320 минут) превышает имеющееся время (300 минут).

Ответ: не успеют.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

Вычисления полностью подтвердили второе, более обоснованное предположение. Интуитивная догадка о том, что времени потребуется вдвое больше, оказалась неверной. Ключевым моментом в задаче является понимание того, как изменяется объем тела при изменении его линейных размеров. Объем куба пропорционален кубу его ребра, поэтому увеличение ребра в 2 раза привело к увеличению объема и, соответственно, времени заполнения в $2^3 = 8$ раз.

Ответ: да, предположение о том, что наполнить бассейн не успеют, подтвердилось.

438. Выполните возведение в степень:

а) $(x^3)^2$;

б) $(x^2)^3$;

в) $(a^5)^4$;

г) $(a^6)^3$;

д) $(y^2)^5$;

е) $(y^7)^2$;

ж) $(b^3)^3$;

з) $(b^5)^2$.

Для решения этих примеров используется свойство возведения степени в степень: при возведении степени в степень основание остаётся тем же, а показатели перемножаются. Это свойство выражается формулой: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

а) Чтобы возвести степень $(x^3)$ в степень $2$, нужно основание $x$ оставить без изменений, а показатели $3$ и $2$ перемножить.

$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$.

Ответ: $x^6$.

б) Аналогично, для выражения $(x^2)^3$ основание $x$ остается, а показатели $2$ и $3$ перемножаются.

$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$.

Ответ: $x^6$.

в) Для выражения $(a^5)^4$ применяем то же правило: основание $a$ оставляем, а показатели $5$ и $4$ перемножаем.

$(a^5)^4 = a^{5 \cdot 4} = a^{20}$.

Ответ: $a^{20}$.

г) Для выражения $(a^6)^3$ перемножаем показатели степеней $6$ и $3$.

$(a^6)^3 = a^{6 \cdot 3} = a^{18}$.

Ответ: $a^{18}$.

д) В выражении $(y^2)^5$ основание $y$ остается, а показатели $2$ и $5$ перемножаются.

$(y^2)^5 = y^{2 \cdot 5} = y^{10}$.

Ответ: $y^{10}$.

е) В выражении $(y^7)^2$ перемножаем показатели $7$ и $2$.

$(y^7)^2 = y^{7 \cdot 2} = y^{14}$.

Ответ: $y^{14}$.

ж) В выражении $(b^8)^3$ основание $b$ остается, а показатели $8$ и $3$ перемножаются.

$(b^8)^3 = b^{8 \cdot 3} = b^{24}$.

Ответ: $b^{24}$.

з) В выражении $(b^5)^2$ перемножаем показатели $5$ и $2$.

$(b^5)^2 = b^{5 \cdot 2} = b^{10}$.

Ответ: $b^{10}$.

441. Представьте в виде степени с основанием $a$:

а) $a^n a^3$;

б) $a a^m$;

в) $a^2 a^m$;

г) $(a^2)^m$;

д) $(a^n)^3$;

е) $(a^3)^n$.

а) Для того чтобы представить произведение $a^n a^3$ в виде степени с основанием $a$, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$. В данном случае основание одинаковое и равно $a$, а показатели степеней — $n$ и $3$. Складываем показатели:
$a^n \cdot a^3 = a^{n+3}$.
Ответ: $a^{n+3}$

б) В выражении $a a^m$ первый множитель $a$ можно представить как степень с показателем 1, то есть $a = a^1$. Тогда произведение примет вид $a^1 a^m$. Применяя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$, сложим показатели $1$ и $m$:
$a \cdot a^m = a^1 \cdot a^m = a^{1+m}$.
Ответ: $a^{1+m}$

в) Выражение $a^2 a^m$ является произведением степеней с одинаковым основанием $a$. Используем то же свойство, что и в предыдущих пунктах: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$. Складываем показатели $2$ и $m$:
$a^2 \cdot a^m = a^{2+m}$.
Ответ: $a^{2+m}$

г) Для выражения $(a^2)^m$ нужно применить свойство возведения степени в степень: $(a^x)^y = a^{xy}$. В этом случае основание $a$ возводится в степень $2$, и полученный результат возводится в степень $m$. Показатели степеней нужно перемножить:
$(a^2)^m = a^{2 \cdot m} = a^{2m}$.
Ответ: $a^{2m}$

д) В выражении $(a^n)^3$ мы также имеем дело с возведением степени в степень. Используем свойство $(a^x)^y = a^{xy}$. Перемножаем показатели $n$ и $3$:
$(a^n)^3 = a^{n \cdot 3} = a^{3n}$.
Ответ: $a^{3n}$

е) Выражение $(a^3)^n$ аналогично предыдущим двум пунктам. Применяем свойство возведения степени в степень $(a^x)^y = a^{xy}$. Перемножаем показатели $3$ и $n$:
$(a^3)^n = a^{3 \cdot n} = a^{3n}$.
Ответ: $a^{3n}$

444. Запишите число $2^{60}$ в виде степени с основанием:

а) 4;

б) 8;

в) 16;

г) 32.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Идея состоит в том, чтобы представить каждое новое основание (4, 8, 16, 32) как степень числа 2, а затем найти соответствующий новый показатель степени для исходного числа $2^{60}$.

а)

Чтобы представить число $2^{60}$ в виде степени с основанием 4, сначала запишем 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.
Теперь мы ищем такой показатель $x$, для которого выполняется равенство $2^{60} = 4^x$.
Подставим $4 = 2^2$ в правую часть равенства: $2^{60} = (2^2)^x$.
Используя свойство возведения степени в степень, получаем: $2^{60} = 2^{2 \cdot x}$.
Поскольку основания степеней равны (оба равны 2), мы можем приравнять их показатели: $60 = 2x$.
Решая это простое уравнение, находим $x = \frac{60}{2} = 30$.
Таким образом, $2^{60} = 4^{30}$.
Ответ: $4^{30}$.

б)

Чтобы представить $2^{60}$ в виде степени с основанием 8, запишем 8 как степень двойки: $8 = 2^3$.
Ищем такой показатель $x$, что $2^{60} = 8^x$.
Подставляем $8 = 2^3$: $2^{60} = (2^3)^x$.
По свойству степени: $2^{60} = 2^{3 \cdot x}$.
Приравниваем показатели: $60 = 3x$.
Отсюда $x = \frac{60}{3} = 20$.
Таким образом, $2^{60} = 8^{20}$.
Ответ: $8^{20}$.

в)

Чтобы представить $2^{60}$ в виде степени с основанием 16, запишем 16 как степень двойки: $16 = 2^4$.
Ищем такой показатель $x$, что $2^{60} = 16^x$.
Подставляем $16 = 2^4$: $2^{60} = (2^4)^x$.
По свойству степени: $2^{60} = 2^{4 \cdot x}$.
Приравниваем показатели: $60 = 4x$.
Отсюда $x = \frac{60}{4} = 15$.
Таким образом, $2^{60} = 16^{15}$.
Ответ: $16^{15}$.

г)

Чтобы представить $2^{60}$ в виде степени с основанием 32, запишем 32 как степень двойки: $32 = 2^5$.
Ищем такой показатель $x$, что $2^{60} = 32^x$.
Подставляем $32 = 2^5$: $2^{60} = (2^5)^x$.
По свойству степени: $2^{60} = 2^{5 \cdot x}$.
Приравниваем показатели: $60 = 5x$.
Отсюда $x = \frac{60}{5} = 12$.
Таким образом, $2^{60} = 32^{12}$.
Ответ: $32^{12}$.

436. Представьте в виде степени произведение:

а) $b^3 x^3$;

б) $a^7 y^7$;

в) $x^2 y^2 z^2$;

г) $(-a)^3 b^3$;

д) $32a^5$;

е) $0,027m^3$.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойство степени произведения, которое гласит, что произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований: $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.

а) В выражении $b^3x^3$ оба множителя $b$ и $x$ возведены в одну и ту же степень 3. Применяя свойство степени произведения, мы можем сгруппировать основания под общим показателем степени:
$b^3x^3 = (b \cdot x)^3 = (bx)^3$.
Ответ: $(bx)^3$

б) В выражении $a^7y^7$ множители $a$ и $y$ возведены в степень 7. По аналогии с предыдущим пунктом, объединяем их в произведение под общей степенью:
$a^7y^7 = (a \cdot y)^7 = (ay)^7$.
Ответ: $(ay)^7$

в) В выражении $x^2y^2z^2$ все три множителя $x, y, z$ имеют одинаковый показатель степени 2. Свойство степени произведения можно применить и для трех множителей: $a^n \cdot b^n \cdot c^n = (abc)^n$.
$x^2y^2z^2 = (x \cdot y \cdot z)^2 = (xyz)^2$.
Ответ: $(xyz)^2$

г) В выражении $(-a)^3 b^3$ основаниями являются $(-a)$ и $b$, а показатель степени у обоих равен 3. Применяем то же свойство:
$(-a)^3 b^3 = ((-a) \cdot b)^3 = (-ab)^3$.
Ответ: $(-ab)^3$

д) В выражении $32a^5$ показатель степени у переменной $a$ равен 5. Чтобы применить свойство степени произведения, необходимо представить число 32 как число в пятой степени.
Мы знаем, что $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Таким образом, выражение можно переписать как $2^5a^5$. Теперь мы можем применить свойство:
$2^5a^5 = (2a)^5$.
Ответ: $(2a)^5$

е) В выражении $0,027m^3$ переменная $m$ возведена в третью степень. Представим числовой коэффициент $0,027$ в виде числа в третьей степени.
$0,027 = 27/1000 = 3^3/10^3 = (3/10)^3 = (0,3)^3$.
Теперь исходное выражение можно записать в виде $(0,3)^3m^3$. Применяем свойство степени произведения:
$(0,3)^3m^3 = (0,3m)^3$.
Ответ: $(0,3m)^3$

439. Запишите в виде степени с основанием x выражение:

а) $(x^6)^4$;

б) $x^6x^4$;

в) $x^2x^2$;

г) $(x^2)^2$;

д) $x^2x^3x^4$;

е) $((x^2)^3)^4$.

а) Чтобы возвести степень в степень, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней перемножить. Используем свойство степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применяя это правило к выражению $(x^6)^4$, получаем:

$(x^6)^4 = x^{6 \cdot 4} = x^{24}$

Ответ: $x^{24}$

б) При умножении степеней с одинаковым основанием, основание остается прежним, а показатели степеней складываются. Используем свойство степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применяя это правило к выражению $x^6x^4$, получаем:

$x^6x^4 = x^{6+4} = x^{10}$

Ответ: $x^{10}$

в) Используем то же свойство, что и в пункте б): при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

Применяя это правило к выражению $x^2x^2$, получаем:

$x^2x^2 = x^{2+2} = x^4$

Ответ: $x^4$

г) Используем то же свойство, что и в пункте а): при возведении степени в степень их показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$).

Применяя это правило к выражению $(x^2)^2$, получаем:

$(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$

Ответ: $x^4$

д) Для умножения нескольких степеней с одинаковым основанием, нужно сложить все их показатели. Свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ обобщается для любого количества множителей: $a^{n_1} \cdot a^{n_2} \cdot \dots \cdot a^{n_k} = a^{n_1+n_2+\dots+n_k}$.

Применяя это правило к выражению $x^2x^3x^4$, получаем:

$x^2x^3x^4 = x^{2+3+4} = x^9$

Ответ: $x^9$

е) В данном выражении происходит многократное возведение степени в степень. Можно последовательно применять свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ или перемножить все показатели сразу.

Последовательное применение:

1. $(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$

2. $(x^6)^4 = x^{6 \cdot 4} = x^{24}$

Или сразу перемножаем все показатели:

$((x^2)^3)^4 = x^{2 \cdot 3 \cdot 4} = x^{24}$

Ответ: $x^{24}$

442. Представьте в виде степени с основанием 5 число:

а) $25^4$;

б) $125^3$;

в) $625^2$.

а) Для того чтобы представить число $25^4$ в виде степени с основанием 5, необходимо сначала выразить число 25 как степень с основанием 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$25^4 = (5^2)^4$.
При возведении степени в степень их показатели перемножаются, согласно свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$.
Ответ: $5^8$.

б) Чтобы представить число $125^3$ в виде степени с основанием 5, представим 125 как степень пятерки. Мы знаем, что $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.
Подставим это значение в выражение:
$125^3 = (5^3)^3$.
Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(5^3)^3 = 5^{3 \cdot 3} = 5^9$.
Ответ: $5^9$.

в) Чтобы представить число $625^2$ в виде степени с основанием 5, сначала представим 625 как степень с основанием 5. Мы знаем, что $625 = 25^2 = (5^2)^2 = 5^4$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$625^2 = (5^4)^2$.
Применяя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, находим:
$(5^4)^2 = 5^{4 \cdot 2} = 5^8$.
Ответ: $5^8$.

434. (Для работы в парах.) На покраску куба затратили 40 г краски. Хватит ли 1 кг краски, чтобы покрасить куб, ребро которого в 3 раза больше?

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.

2) Выполните самостоятельно вычисления.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.

Можно сделать два предположения. Первое, более простое: если ребро куба стало в 3 раза больше, то и краски понадобится в 3 раза больше. Второе, более продуманное: мы красим поверхность, а площадь поверхности зависит от квадрата длины ребра. Значит, если ребро увеличилось в 3 раза, то площадь поверхности, а следовательно и количество краски, должно увеличиться в $3^2 = 9$ раз. В обоих случаях 1 кг краски должно хватить, так как 1 кг = 1000 г, а $40 \text{ г} \cdot 3 = 120 \text{ г}$ и $40 \text{ г} \cdot 9 = 360 \text{ г}$, и оба значения меньше 1000 г.

2) Выполните самостоятельно вычисления.

Для решения задачи нужно сравнить площади поверхностей двух кубов. Количество необходимой краски прямо пропорционально площади окрашиваемой поверхности.

Пусть ребро первого (меньшего) куба равно $a$.
Площадь поверхности куба вычисляется по формуле $S = 6a^2$, так как у куба 6 одинаковых квадратных граней со стороной $a$.
Площадь поверхности первого куба: $S_1 = 6a^2$.
На покраску этой площади ушло 40 г краски.

Ребро второго (большего) куба по условию в 3 раза больше, то есть его длина равна $3a$.
Найдем площадь поверхности второго куба:
$S_2 = 6 \cdot (3a)^2 = 6 \cdot (9a^2) = 54a^2$.

Теперь найдем, во сколько раз площадь поверхности второго куба больше площади поверхности первого:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{54a^2}{6a^2} = 9$.
Площадь поверхности второго куба в 9 раз больше. Следовательно, и краски на его покраску потребуется в 9 раз больше.

Рассчитаем необходимое количество краски для большого куба:
$40 \text{ г} \cdot 9 = 360 \text{ г}$.

В наличии есть 1 кг краски. Переведем эту массу в граммы, чтобы сравнить значения:
$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

Теперь сравним количество имеющейся краски с необходимым:
$1000 \text{ г} > 360 \text{ г}$.
Так как $1000 > 360$, имеющейся краски хватит для покраски большого куба.

Ответ: Да, 1 кг краски хватит, чтобы покрасить куб с ребром в 3 раза больше.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

Более продуманное предположение о том, что краски понадобится в 9 раз больше, полностью подтвердилось расчетами. Расчет показал, что для покраски нового куба требуется 360 г краски. Простое предположение об увеличении расхода краски в 3 раза (до 120 г) оказалось неверным, хотя и оно приводило к правильному конечному ответу на вопрос задачи (что 1 кг хватит). Это показывает, как важно понимать зависимость между линейными размерами фигуры и ее площадью.

437. Найдите значение выражения:

а) $2^4 \cdot 5^4$;

б) $4^3 \cdot 25^3$;

в) $0,25^{15} \cdot 4^{15}$;

г) $(\frac{2}{3})^7 \cdot 1,5^7$;

д) $(\frac{5}{7})^{10} \cdot 1,4^9$;

е) $0,2^6 \cdot 50^7$.

а) Для нахождения значения выражения $2^4 \cdot 5^4$ воспользуемся свойством степени произведения, которое гласит, что произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени произведения оснований с тем же показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$2^4 \cdot 5^4 = (2 \cdot 5)^4 = 10^4 = 10000$.

Ответ: $10000$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство степени произведения для выражения $4^3 \cdot 25^3$.

$4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3$.

Так как $100 = 10^2$, то $100^3 = (10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 = 1000000$.

Ответ: $1000000$.

в) Выражение $0.25^{15} \cdot 4^{15}$ также решается с помощью свойства степени произведения.

$0.25^{15} \cdot 4^{15} = (0.25 \cdot 4)^{15} = 1^{15} = 1$.

Ответ: $1$.

г) Для выражения $(\frac{2}{3})^7 \cdot 1.5^7$ сначала представим десятичную дробь $1.5$ в виде обыкновенной дроби. $1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.

Теперь применим свойство степени произведения:

$(\frac{2}{3})^7 \cdot 1.5^7 = (\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{3}{2})^7 = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^7 = 1^7 = 1$.

Ответ: $1$.

д) В выражении $(\frac{5}{7})^{10} \cdot 1.4^9$ показатели степеней различны. Чтобы воспользоваться свойством степени произведения, нужно привести множители к одинаковому показателю. Разложим множитель с большим показателем, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

Сначала представим $1.4$ в виде дроби: $1.4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.

$(\frac{5}{7})^{10} \cdot (\frac{7}{5})^9 = (\frac{5}{7})^{9+1} \cdot (\frac{7}{5})^9 = (\frac{5}{7})^1 \cdot (\frac{5}{7})^9 \cdot (\frac{7}{5})^9$.

Теперь сгруппируем множители с одинаковыми показателями:

$\frac{5}{7} \cdot ((\frac{5}{7}) \cdot (\frac{7}{5}))^9 = \frac{5}{7} \cdot 1^9 = \frac{5}{7} \cdot 1 = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$.

е) В выражении $0.2^6 \cdot 50^7$ показатели степеней также различны. Как и в предыдущем примере, разложим множитель с большей степенью:

$0.2^6 \cdot 50^7 = 0.2^6 \cdot 50^{6+1} = 0.2^6 \cdot 50^6 \cdot 50^1$.

Сгруппируем множители с одинаковыми показателями и вычислим:

$(0.2 \cdot 50)^6 \cdot 50 = 10^6 \cdot 50 = 1000000 \cdot 50 = 50000000$.

Ответ: $50000000$.

440. Представьте в виде степени с основанием $a$ выражение:

а) $(a^5)^2$;

б) $a^5a^2$;

в) $(a^4)^3$;

г) $a^3a^4$;

д) $a^5a^5$;

е) $(a^5)^5$.

а) Для того чтобы представить выражение $(a^5)^2$ в виде степени с основанием $a$, необходимо воспользоваться свойством возведения степени в степень. Согласно этому свойству, при возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Применим это правило к нашему выражению:
$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$.
Ответ: $a^{10}$.

б) Для того чтобы представить выражение $a^5a^2$ в виде степени с основанием $a$, нужно применить свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями. По этому правилу, при умножении степеней основание остается тем же, а показатели степеней складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
Применим это правило к нашему выражению:
$a^5a^2 = a^{5+2} = a^7$.
Ответ: $a^7$.

в) Чтобы представить выражение $(a^4)^3$ в виде степени с основанием $a$, используем правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Основание остается тем же, а показатели перемножаются.
Применим это правило:
$(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$.
Ответ: $a^{12}$.

г) Чтобы представить выражение $a^3a^4$ в виде степени с основанием $a$, используем правило умножения степеней с одинаковыми основаниями: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Основание остается прежним, а показатели складываются.
Применим это правило:
$a^3a^4 = a^{3+4} = a^7$.
Ответ: $a^7$.

д) Для представления выражения $a^5a^5$ в виде степени с основанием $a$, применим свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
Применим это правило к нашему выражению:
$a^5a^5 = a^{5+5} = a^{10}$.
Ответ: $a^{10}$.

е) Для представления выражения $(a^5)^5$ в виде степени с основанием $a$, применим свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Применим это правило к нашему выражению:
$(a^5)^5 = a^{5 \cdot 5} = a^{25}$.
Ответ: $a^{25}$.

443. Представьте число $2^{20}$ в виде степени с основанием:

а) $2^2$;

б) $2^4$;

в) $2^5$;

г) $2^{10}$.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойство степени «возведение степени в степень», которое формулируется так: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Нам нужно представить число $2^{20}$ в виде $(2^k)^x$, где $k$ задано в каждом подпункте, а $x$ — искомое число.

а)

Требуется представить число $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^2$. Пусть искомый показатель степени равен $x$. Тогда мы можем записать равенство:

$2^{20} = (2^2)^x$

Используя свойство возведения степени в степень, преобразуем правую часть равенства:

$(2^2)^x = 2^{2 \cdot x} = 2^{2x}$

Теперь наше равенство выглядит так:

$2^{20} = 2^{2x}$

Поскольку основания степеней равны (оба равны 2), то и показатели степеней должны быть равны:

$20 = 2x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{20}{2} = 10$

Таким образом, число $2^{20}$ можно представить как $(2^2)^{10}$.

Ответ: $(2^2)^{10}$.

б)

Требуется представить число $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^4$. Пусть искомый показатель степени равен $x$. Запишем равенство:

$2^{20} = (2^4)^x$

Преобразуем правую часть, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^4)^x = 2^{4 \cdot x} = 2^{4x}$

Получаем равенство:

$2^{20} = 2^{4x}$

Приравниваем показатели степеней:

$20 = 4x$

Находим $x$:

$x = \frac{20}{4} = 5$

Следовательно, число $2^{20}$ можно представить как $(2^4)^5$.

Ответ: $(2^4)^5$.

в)

Требуется представить число $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^5$. Пусть искомый показатель степени равен $x$. Запишем равенство:

$2^{20} = (2^5)^x$

Применяем свойство возведения степени в степень к правой части:

$(2^5)^x = 2^{5 \cdot x} = 2^{5x}$

Теперь равенство имеет вид:

$2^{20} = 2^{5x}$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$20 = 5x$

Находим $x$:

$x = \frac{20}{5} = 4$

Таким образом, число $2^{20}$ можно представить как $(2^5)^4$.

Ответ: $(2^5)^4$.

г)

Требуется представить число $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^{10}$. Пусть искомый показатель степени равен $x$. Запишем равенство:

$2^{20} = (2^{10})^x$

Используем свойство степени для правой части:

$(2^{10})^x = 2^{10 \cdot x} = 2^{10x}$

Получаем равенство:

$2^{20} = 2^{10x}$

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$20 = 10x$

Находим $x$:

$x = \frac{20}{10} = 2$

Следовательно, число $2^{20}$ можно представить как $(2^{10})^2$.

Ответ: $(2^{10})^2$.