Номер 443, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 443, страница 106.

Условие.

443. Представьте число $2^{20}$ в виде степени с основанием:

а) $2^2$;

б) $2^4$;

в) $2^5$;

г) $2^{10}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойство степени «возведение степени в степень», которое формулируется так: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Нам нужно представить число $2^{20}$ в виде $(2^k)^x$, где $k$ задано в каждом подпункте, а $x$ — искомое число.

а)

Требуется представить число $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^2$. Пусть искомый показатель степени равен $x$. Тогда мы можем записать равенство:

$2^{20} = (2^2)^x$

Используя свойство возведения степени в степень, преобразуем правую часть равенства:

$(2^2)^x = 2^{2 \cdot x} = 2^{2x}$

Теперь наше равенство выглядит так:

$2^{20} = 2^{2x}$

Поскольку основания степеней равны (оба равны 2), то и показатели степеней должны быть равны:

$20 = 2x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{20}{2} = 10$

Таким образом, число $2^{20}$ можно представить как $(2^2)^{10}$.

Ответ: $(2^2)^{10}$.

б)

Требуется представить число $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^4$. Пусть искомый показатель степени равен $x$. Запишем равенство:

$2^{20} = (2^4)^x$

Преобразуем правую часть, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^4)^x = 2^{4 \cdot x} = 2^{4x}$

Получаем равенство:

$2^{20} = 2^{4x}$

Приравниваем показатели степеней:

$20 = 4x$

Находим $x$:

$x = \frac{20}{4} = 5$

Следовательно, число $2^{20}$ можно представить как $(2^4)^5$.

Ответ: $(2^4)^5$.

в)

Требуется представить число $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^5$. Пусть искомый показатель степени равен $x$. Запишем равенство:

$2^{20} = (2^5)^x$

Применяем свойство возведения степени в степень к правой части:

$(2^5)^x = 2^{5 \cdot x} = 2^{5x}$

Теперь равенство имеет вид:

$2^{20} = 2^{5x}$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$20 = 5x$

Находим $x$:

$x = \frac{20}{5} = 4$

Таким образом, число $2^{20}$ можно представить как $(2^5)^4$.

Ответ: $(2^5)^4$.

г)

Требуется представить число $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^{10}$. Пусть искомый показатель степени равен $x$. Запишем равенство:

$2^{20} = (2^{10})^x$

Используем свойство степени для правой части:

$(2^{10})^x = 2^{10 \cdot x} = 2^{10x}$

Получаем равенство:

$2^{20} = 2^{10x}$

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$20 = 10x$

Находим $x$:

$x = \frac{20}{10} = 2$

Следовательно, число $2^{20}$ можно представить как $(2^{10})^2$.

Ответ: $(2^{10})^2$.