Номер 447, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 447, страница 107.

Условие.

447. Упростите выражение:

а) $x^3 \cdot (x^2)^5;$

б) $(a^3)^2 \cdot a^5;$

в) $(a^2)^3 \cdot (a^4)^2;$

г) $(x^2)^5 \cdot (x^5)^2;$

д) $(m^2m^3)^4;$

е) $(x^4x)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы упростить выражение $x^3 \cdot (x^2)^5$, мы применим два свойства степеней. Сначала возведем степень в степень, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$

Теперь исходное выражение принимает вид $x^3 \cdot x^{10}$. Далее, чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, мы сложим их показатели, согласно правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$x^3 \cdot x^{10} = x^{3+10} = x^{13}$

Ответ: $x^{13}$

б) Упростим выражение $(a^3)^2 \cdot a^5$. Сначала выполним операцию возведения степени в степень для первого множителя по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$

Теперь выражение выглядит как $a^6 \cdot a^5$. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^6 \cdot a^5 = a^{6+5} = a^{11}$

Ответ: $a^{11}$

в) В выражении $(a^2)^3 \cdot (a^4)^2$ мы имеем произведение двух степеней, каждая из которых возводится в еще одну степень. Применим правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к каждому множителю.

$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$

$(a^4)^2 = a^{4 \cdot 2} = a^8$

Теперь перемножим полученные результаты, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^6 \cdot a^8 = a^{6+8} = a^{14}$

Ответ: $a^{14}$

г) Упростим выражение $(x^2)^5 \cdot (x^5)^2$. Аналогично предыдущему пункту, сначала возведем каждую степень в степень по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$

$(x^5)^2 = x^{5 \cdot 2} = x^{10}$

Далее перемножим полученные степени с одинаковым основанием по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$x^{10} \cdot x^{10} = x^{10+10} = x^{20}$

Ответ: $x^{20}$

д) Для упрощения выражения $(m^2m^3)^4$ сначала выполним действие в скобках. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$m^2m^3 = m^{2+3} = m^5$

Теперь выражение имеет вид $(m^5)^4$. Возведем полученную степень в степень по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(m^5)^4 = m^{5 \cdot 4} = m^{20}$

Ответ: $m^{20}$

е) Упростим выражение $(x^4x)^2$. Сначала упростим то, что находится в скобках. Запомним, что $x$ — это то же самое, что и $x^1$. Применим правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$x^4x = x^4 \cdot x^1 = x^{4+1} = x^5$

Теперь возведем результат в квадрат, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(x^5)^2 = x^{5 \cdot 2} = x^{10}$

Ответ: $x^{10}$