Номер 451, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 451, страница 107.

Условие.

451. Известно, что $a < 0$ и $b > 0$. Сравните с нулём значение выражения:

а) $ab^2$;

б) $a^3b$;

в) $a^2b$;

г) $ab^3$;

д) $-ab^3$;

е) $a^2 + b^2$;

ж) $(a + b)^2$;

з) $(a - b)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

По условию задачи даны два числа: $a$ и $b$, где $a$ — отрицательное число ($a < 0$), а $b$ — положительное число ($b > 0$). Необходимо сравнить с нулём значения предложенных выражений.

Для этого воспользуемся следующими правилами:

• Четная степень любого ненулевого числа всегда положительна.
• Нечетная степень отрицательного числа отрицательна.
• Любая степень положительного числа положительна.
• Произведение чисел с разными знаками отрицательно.
• Произведение чисел с одинаковыми знаками положительно.
• Сумма двух положительных чисел положительна.
• Сумма двух отрицательных чисел отрицательна.

а) $ab^2$

Рассмотрим множители: $a$ и $b^2$.

По условию $a < 0$.

Так как $b > 0$, то $b^2$ (квадрат положительного числа) также будет положительным: $b^2 > 0$.

Произведение отрицательного числа ($a$) и положительного числа ($b^2$) является отрицательным.

Следовательно, $ab^2 < 0$.

Ответ: $ab^2 < 0$ (значение выражения меньше нуля).

б) $a^3b$

Рассмотрим множители: $a^3$ и $b$.

Поскольку $a < 0$, то его нечетная степень $a^3$ также будет отрицательной: $a^3 < 0$.

По условию $b > 0$.

Произведение отрицательного числа ($a^3$) и положительного числа ($b$) является отрицательным.

Следовательно, $a^3b < 0$.

Ответ: $a^3b < 0$ (значение выражения меньше нуля).

в) $a^2b$

Рассмотрим множители: $a^2$ и $b$.

Поскольку $a < 0$, то его четная степень $a^2$ будет положительной: $a^2 > 0$.

По условию $b > 0$.

Произведение двух положительных чисел ($a^2$ и $b$) является положительным.

Следовательно, $a^2b > 0$.

Ответ: $a^2b > 0$ (значение выражения больше нуля).

г) $ab^3$

Рассмотрим множители: $a$ и $b^3$.

По условию $a < 0$.

Поскольку $b > 0$, то любая его степень, включая $b^3$, будет положительной: $b^3 > 0$.

Произведение отрицательного числа ($a$) и положительного числа ($b^3$) является отрицательным.

Следовательно, $ab^3 < 0$.

Ответ: $ab^3 < 0$ (значение выражения меньше нуля).

д) $-ab^3$

Как мы установили в пункте г), произведение $ab^3$ является отрицательным числом ($ab^3 < 0$).

Выражение $-ab^3$ — это число, противоположное $ab^3$.

Число, противоположное отрицательному, является положительным.

Следовательно, $-ab^3 > 0$.

Ответ: $-ab^3 > 0$ (значение выражения больше нуля).

е) $a^2 + b^2$

Рассмотрим слагаемые: $a^2$ и $b^2$.

Так как $a < 0$ и $a \ne 0$, его квадрат $a^2$ строго положителен: $a^2 > 0$.

Так как $b > 0$ и $b \ne 0$, его квадрат $b^2$ строго положителен: $b^2 > 0$.

Сумма двух положительных чисел ($a^2$ и $b^2$) всегда является положительным числом.

Следовательно, $a^2 + b^2 > 0$.

Ответ: $a^2 + b^2 > 0$ (значение выражения больше нуля).

ж) $(a + b)^2$

Рассмотрим выражение $a+b$. Поскольку $a$ — отрицательное число, а $b$ — положительное, их сумма может быть положительной, отрицательной или равной нулю (если $|a| = |b|$).

Однако все выражение $(a + b)^2$ представляет собой квадрат действительного числа.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю).

Если $a+b \ne 0$, то $(a+b)^2 > 0$.

Если $a+b = 0$ (например, $a=-5, b=5$), то $(a+b)^2 = 0$.

Таким образом, значение выражения всегда больше или равно нулю.

Следовательно, $(a + b)^2 \ge 0$.

Ответ: $(a + b)^2 \ge 0$ (значение выражения больше или равно нулю).

з) $(a - b)^2$

Рассмотрим выражение в скобках: $a - b$.

По условию $a < 0$ и $b > 0$. Вычитание положительного числа $b$ равносильно прибавлению отрицательного числа $-b$.

Таким образом, мы складываем два отрицательных числа: $a$ и $(-b)$.

Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом. Значит, $a - b < 0$.

Поскольку $a$ и $b$ имеют разные знаки, их разность не может быть равна нулю.

Выражение $(a - b)^2$ является квадратом ненулевого отрицательного числа. Квадрат любого ненулевого числа всегда строго положителен.

Следовательно, $(a - b)^2 > 0$.

Ответ: $(a - b)^2 > 0$ (значение выражения больше нуля).