Номер 448, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 448, страница 107.

Условие.

448. Запишите в виде степени с основанием a выражение:

а) $(a^2)^4;$

б) $a^3 \cdot (a^3)^2;$

в) $(a^5)^2 \cdot (a^2)^2;$

г) $(a^3)^3 \cdot (a^3)^3;$

д) $(a^3a^3)^2;$

е) $(aa^6)^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи мы будем использовать следующие свойства степеней:

• При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
• При умножении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели степеней складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• Любое число (или переменная) без показателя степени считается в первой степени: $a = a^1$.

а) Применим правило возведения степени в степень. Показатели степеней $2$ и $4$ перемножаются.

$(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$.

Ответ: $a^8$.

б) Сначала упростим второй множитель $(a^3)^2$, возведя степень в степень.

$(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$.

Теперь умножим степени с одинаковым основанием $a$, сложив их показатели.

$a^3 \cdot a^6 = a^{3+6} = a^9$.

Ответ: $a^9$.

в) Упростим каждый множитель в выражении $(a^5)^2 \cdot (a^2)^2$ по отдельности, используя правило возведения степени в степень.

$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$.

$(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$.

Теперь перемножим полученные результаты, сложив их показатели.

$a^{10} \cdot a^4 = a^{10+4} = a^{14}$.

Ответ: $a^{14}$.

г) Упростим каждый из множителей $(a^3)^3$.

$(a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$.

Теперь перемножим одинаковые результаты.

$a^9 \cdot a^9 = a^{9+9} = a^{18}$.

Ответ: $a^{18}$.

д) Сначала выполним умножение внутри скобок $(a^3a^3)^2$.

$a^3a^3 = a^{3+3} = a^6$.

Теперь возведем полученный результат в степень.

$(a^6)^2 = a^{6 \cdot 2} = a^{12}$.

Ответ: $a^{12}$.

е) Упростим выражение внутри скобок $(aa^6)^3$, помня, что $a = a^1$.

$aa^6 = a^1 \cdot a^6 = a^{1+6} = a^7$.

Теперь возведем результат в степень.

$(a^7)^3 = a^{7 \cdot 3} = a^{21}$.

Ответ: $a^{21}$.