Номер 450, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 450, страница 107.

Условие.

450. Найдите значение выражения:

а) $\frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}}$

б) $\frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}}$

в) $\frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4}$

г) $\frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3}$

д) $\frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9}$

е) $\frac{(7^3)^3 \cdot 7^2}{(7^5)^2}$

ж) $\frac{3^{11} \cdot 27}{(3^4)^3 \cdot 9}$

з) $\frac{(11^2)^3}{11^2 \cdot 11^3}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}}$, воспользуемся свойствами степеней.

1. Сначала упростим числитель. При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$.

2. Теперь числитель выглядит так: $2^5 \cdot 2^{12}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$2^5 \cdot 2^{12} = 2^{5+12} = 2^{17}$.

3. Получаем дробь $\frac{2^{17}}{2^{13}}$. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{2^{17}}{2^{13}} = 2^{17-13} = 2^4 = 16$.

Ответ: 16

б) Упростим выражение $\frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}}$.

1. Упростим числитель. Сначала возводим степень в степень: $(5^8)^2 = 5^{8 \cdot 2} = 5^{16}$.

2. Затем перемножаем степени с одинаковым основанием: $5^{16} \cdot 5^7 = 5^{16+7} = 5^{23}$.

3. Теперь делим степени: $\frac{5^{23}}{5^{22}} = 5^{23-22} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5

в) Упростим выражение $\frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4}$.

1. Упростим числитель: $(2^5)^2 = 2^{5 \cdot 2} = 2^{10}$.

2. Упростим знаменатель. Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.

$2^6 \cdot 4 = 2^6 \cdot 2^2 = 2^{6+2} = 2^8$.

3. Делим полученные выражения: $\frac{2^{10}}{2^8} = 2^{10-8} = 2^2 = 4$.

Ответ: 4

г) Упростим выражение $\frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3}$.

1. Упростим числитель. Представим 27 как степень тройки: $27 = 3^3$.

$3^7 \cdot 27 = 3^7 \cdot 3^3 = 3^{7+3} = 3^{10}$.

2. Упростим знаменатель: $(3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$.

3. Делим полученные выражения: $\frac{3^{10}}{3^{12}} = 3^{10-12} = 3^{-2}$.

4. Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$

д) Упростим выражение $\frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9}$.

1. Упростим числитель. Возводим степень в степень: $(5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$. Представляем 25 как степень пятерки: $25 = 5^2$.

Числитель становится: $5^8 \cdot 5^2 = 5^{8+2} = 5^{10}$.

2. Делим полученные выражения: $\frac{5^{10}}{5^9} = 5^{10-9} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5

е) Упростим выражение $\frac{(7^3)^3 \cdot 7^2}{(7^5)^2}$.

1. Упростим числитель: $(7^3)^3 \cdot 7^2 = 7^{3 \cdot 3} \cdot 7^2 = 7^9 \cdot 7^2 = 7^{9+2} = 7^{11}$.

2. Упростим знаменатель: $(7^5)^2 = 7^{5 \cdot 2} = 7^{10}$.

3. Делим полученные выражения: $\frac{7^{11}}{7^{10}} = 7^{11-10} = 7^1 = 7$.

Ответ: 7

ж) Упростим выражение $\frac{3^{11} \cdot 27}{(3^4)^3 \cdot 9}$.

1. Упростим числитель. Представим 27 как $3^3$: $3^{11} \cdot 3^3 = 3^{11+3} = 3^{14}$.

2. Упростим знаменатель. Упростим $(3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$. Представим 9 как $3^2$.

Знаменатель становится: $3^{12} \cdot 3^2 = 3^{12+2} = 3^{14}$.

3. Делим полученные выражения: $\frac{3^{14}}{3^{14}} = 3^{14-14} = 3^0 = 1$.

Ответ: 1

з) Упростим выражение $\frac{(11^2)^3}{11^2 \cdot 11^3}$.

1. Упростим числитель: $(11^2)^3 = 11^{2 \cdot 3} = 11^6$.

2. Упростим знаменатель: $11^2 \cdot 11^3 = 11^{2+3} = 11^5$.

3. Делим полученные выражения: $\frac{11^6}{11^5} = 11^{6-5} = 11^1 = 11$.

Ответ: 11