Номер 444, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 444, страница 106.

Условие.

444. Запишите число $2^{60}$ в виде степени с основанием:

а) 4;

б) 8;

в) 16;

г) 32.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Идея состоит в том, чтобы представить каждое новое основание (4, 8, 16, 32) как степень числа 2, а затем найти соответствующий новый показатель степени для исходного числа $2^{60}$.

а)

Чтобы представить число $2^{60}$ в виде степени с основанием 4, сначала запишем 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.
Теперь мы ищем такой показатель $x$, для которого выполняется равенство $2^{60} = 4^x$.
Подставим $4 = 2^2$ в правую часть равенства: $2^{60} = (2^2)^x$.
Используя свойство возведения степени в степень, получаем: $2^{60} = 2^{2 \cdot x}$.
Поскольку основания степеней равны (оба равны 2), мы можем приравнять их показатели: $60 = 2x$.
Решая это простое уравнение, находим $x = \frac{60}{2} = 30$.
Таким образом, $2^{60} = 4^{30}$.
Ответ: $4^{30}$.

б)

Чтобы представить $2^{60}$ в виде степени с основанием 8, запишем 8 как степень двойки: $8 = 2^3$.
Ищем такой показатель $x$, что $2^{60} = 8^x$.
Подставляем $8 = 2^3$: $2^{60} = (2^3)^x$.
По свойству степени: $2^{60} = 2^{3 \cdot x}$.
Приравниваем показатели: $60 = 3x$.
Отсюда $x = \frac{60}{3} = 20$.
Таким образом, $2^{60} = 8^{20}$.
Ответ: $8^{20}$.

в)

Чтобы представить $2^{60}$ в виде степени с основанием 16, запишем 16 как степень двойки: $16 = 2^4$.
Ищем такой показатель $x$, что $2^{60} = 16^x$.
Подставляем $16 = 2^4$: $2^{60} = (2^4)^x$.
По свойству степени: $2^{60} = 2^{4 \cdot x}$.
Приравниваем показатели: $60 = 4x$.
Отсюда $x = \frac{60}{4} = 15$.
Таким образом, $2^{60} = 16^{15}$.
Ответ: $16^{15}$.

г)

Чтобы представить $2^{60}$ в виде степени с основанием 32, запишем 32 как степень двойки: $32 = 2^5$.
Ищем такой показатель $x$, что $2^{60} = 32^x$.
Подставляем $32 = 2^5$: $2^{60} = (2^5)^x$.
По свойству степени: $2^{60} = 2^{5 \cdot x}$.
Приравниваем показатели: $60 = 5x$.
Отсюда $x = \frac{60}{5} = 12$.
Таким образом, $2^{60} = 32^{12}$.
Ответ: $32^{12}$.