Номер 441, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 441, страница 106.

Условие.

441. Представьте в виде степени с основанием $a$:

а) $a^n a^3$;

б) $a a^m$;

в) $a^2 a^m$;

г) $(a^2)^m$;

д) $(a^n)^3$;

е) $(a^3)^n$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для того чтобы представить произведение $a^n a^3$ в виде степени с основанием $a$, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$. В данном случае основание одинаковое и равно $a$, а показатели степеней — $n$ и $3$. Складываем показатели:
$a^n \cdot a^3 = a^{n+3}$.
Ответ: $a^{n+3}$

б) В выражении $a a^m$ первый множитель $a$ можно представить как степень с показателем 1, то есть $a = a^1$. Тогда произведение примет вид $a^1 a^m$. Применяя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$, сложим показатели $1$ и $m$:
$a \cdot a^m = a^1 \cdot a^m = a^{1+m}$.
Ответ: $a^{1+m}$

в) Выражение $a^2 a^m$ является произведением степеней с одинаковым основанием $a$. Используем то же свойство, что и в предыдущих пунктах: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$. Складываем показатели $2$ и $m$:
$a^2 \cdot a^m = a^{2+m}$.
Ответ: $a^{2+m}$

г) Для выражения $(a^2)^m$ нужно применить свойство возведения степени в степень: $(a^x)^y = a^{xy}$. В этом случае основание $a$ возводится в степень $2$, и полученный результат возводится в степень $m$. Показатели степеней нужно перемножить:
$(a^2)^m = a^{2 \cdot m} = a^{2m}$.
Ответ: $a^{2m}$

д) В выражении $(a^n)^3$ мы также имеем дело с возведением степени в степень. Используем свойство $(a^x)^y = a^{xy}$. Перемножаем показатели $n$ и $3$:
$(a^n)^3 = a^{n \cdot 3} = a^{3n}$.
Ответ: $a^{3n}$

е) Выражение $(a^3)^n$ аналогично предыдущим двум пунктам. Применяем свойство возведения степени в степень $(a^x)^y = a^{xy}$. Перемножаем показатели $3$ и $n$:
$(a^3)^n = a^{3 \cdot n} = a^{3n}$.
Ответ: $a^{3n}$