Номер 435, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 435, страница 106.

Условие.

435. (Для работы в парах.) Бассейн, имеющий форму куба, наполняется водой через трубу за 40 мин. Успеют ли за 5 ч наполнить водой через ту же трубу бассейн, имеющий форму куба, ребро которого вдвое больше?

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.

2) Выполните самостоятельно вычисления.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.

Можно предположить, что раз ребро бассейна стало в 2 раза больше, то и времени на его заполнение потребуется в 2 раза больше, то есть $40 \text{ мин} \times 2 = 80 \text{ мин}$, или 1 час 20 минут. Так как 5 часов — это гораздо больше, то можно сделать вывод, что они успеют.

Однако объем куба зависит от длины ребра в третьей степени. Если ребро увеличится в 2 раза, то объем увеличится не в 2, а в $2^3 = 8$ раз. Следовательно, времени понадобится в 8 раз больше. $40 \text{ мин} \times 8 = 320 \text{ мин}$. Пять часов — это $5 \times 60 = 300 \text{ мин}$. Так как $320 > 300$, то, скорее всего, наполнить бассейн за 5 часов не успеют. Это более обоснованное предположение.

2) Выполните самостоятельно вычисления.

Пусть $a$ — длина ребра первого бассейна. Тогда его объем $V_1 = a^3$.
Время наполнения первого бассейна $t_1 = 40$ минут.

Длина ребра второго бассейна вдвое больше, то есть $2a$.
Его объем $V_2 = (2a)^3 = 2^3 \times a^3 = 8a^3$.

Таким образом, объем второго бассейна в 8 раз больше объема первого: $V_2 = 8V_1$.

Поскольку вода подается через ту же трубу, скорость наполнения (объем в минуту) постоянна. Это значит, что для заполнения в 8 раз большего объема потребуется в 8 раз больше времени.
Время наполнения второго бассейна: $t_2 = t_1 \times 8 = 40 \text{ мин} \times 8 = 320 \text{ минут}$.

Теперь сравним необходимое время с имеющимся. В условии дано 5 часов.
Переведем 5 часов в минуты: $5 \text{ ч} = 5 \times 60 \text{ мин} = 300 \text{ минут}$.

Сравниваем время: $320 \text{ минут} > 300 \text{ минут}$.

Необходимое для заполнения бассейна время (320 минут) превышает имеющееся время (300 минут).

Ответ: не успеют.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

Вычисления полностью подтвердили второе, более обоснованное предположение. Интуитивная догадка о том, что времени потребуется вдвое больше, оказалась неверной. Ключевым моментом в задаче является понимание того, как изменяется объем тела при изменении его линейных размеров. Объем куба пропорционален кубу его ребра, поэтому увеличение ребра в 2 раза привело к увеличению объема и, соответственно, времени заполнения в $2^3 = 8$ раз.

Ответ: да, предположение о том, что наполнить бассейн не успеют, подтвердилось.