Номер 434, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 434, страница 106.

Условие.

434. (Для работы в парах.) На покраску куба затратили 40 г краски. Хватит ли 1 кг краски, чтобы покрасить куб, ребро которого в 3 раза больше?

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.

2) Выполните самостоятельно вычисления.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Выскажите друг другу предположение об ожидаемом ответе.

Можно сделать два предположения. Первое, более простое: если ребро куба стало в 3 раза больше, то и краски понадобится в 3 раза больше. Второе, более продуманное: мы красим поверхность, а площадь поверхности зависит от квадрата длины ребра. Значит, если ребро увеличилось в 3 раза, то площадь поверхности, а следовательно и количество краски, должно увеличиться в $3^2 = 9$ раз. В обоих случаях 1 кг краски должно хватить, так как 1 кг = 1000 г, а $40 \text{ г} \cdot 3 = 120 \text{ г}$ и $40 \text{ г} \cdot 9 = 360 \text{ г}$, и оба значения меньше 1000 г.

2) Выполните самостоятельно вычисления.

Для решения задачи нужно сравнить площади поверхностей двух кубов. Количество необходимой краски прямо пропорционально площади окрашиваемой поверхности.

Пусть ребро первого (меньшего) куба равно $a$.
Площадь поверхности куба вычисляется по формуле $S = 6a^2$, так как у куба 6 одинаковых квадратных граней со стороной $a$.
Площадь поверхности первого куба: $S_1 = 6a^2$.
На покраску этой площади ушло 40 г краски.

Ребро второго (большего) куба по условию в 3 раза больше, то есть его длина равна $3a$.
Найдем площадь поверхности второго куба:
$S_2 = 6 \cdot (3a)^2 = 6 \cdot (9a^2) = 54a^2$.

Теперь найдем, во сколько раз площадь поверхности второго куба больше площади поверхности первого:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{54a^2}{6a^2} = 9$.
Площадь поверхности второго куба в 9 раз больше. Следовательно, и краски на его покраску потребуется в 9 раз больше.

Рассчитаем необходимое количество краски для большого куба:
$40 \text{ г} \cdot 9 = 360 \text{ г}$.

В наличии есть 1 кг краски. Переведем эту массу в граммы, чтобы сравнить значения:
$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

Теперь сравним количество имеющейся краски с необходимым:
$1000 \text{ г} > 360 \text{ г}$.
Так как $1000 > 360$, имеющейся краски хватит для покраски большого куба.

Ответ: Да, 1 кг краски хватит, чтобы покрасить куб с ребром в 3 раза больше.

3) Обсудите, подтвердились ли ваши предположения.

Более продуманное предположение о том, что краски понадобится в 9 раз больше, полностью подтвердилось расчетами. Расчет показал, что для покраски нового куба требуется 360 г краски. Простое предположение об увеличении расхода краски в 3 раза (до 120 г) оказалось неверным, хотя и оно приводило к правильному конечному ответу на вопрос задачи (что 1 кг хватит). Это показывает, как важно понимать зависимость между линейными размерами фигуры и ее площадью.