Номер 433, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 433, страница 105.

Условие.

433. Как изменится объём куба, если его ребро увеличить в 2 раза? в 3 раза? в 10 раз? в n раз?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы определить, как изменится объём куба, необходимо понять зависимость объёма от длины его ребра. Объём куба $V$ с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$V = a^3$

Рассмотрим, как изменится объём при увеличении ребра в заданное количество раз.

в 2 раза

Пусть первоначальная длина ребра куба равна $a$. Тогда его первоначальный объём $V_1 = a^3$.
Если ребро увеличить в 2 раза, то его новая длина будет равна $2a$.
Новый объём куба $V_2$ будет равен: $V_2 = (2a)^3 = 2^3 \cdot a^3 = 8a^3$.
Чтобы найти, во сколько раз изменился объём, найдём отношение нового объёма к первоначальному:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{8a^3}{a^3} = 8$.
Это означает, что объём увеличится в 8 раз.
Ответ: увеличится в 8 раз.

в 3 раза

Пусть первоначальная длина ребра куба равна $a$, а объём $V_1 = a^3$.
Если ребро увеличить в 3 раза, то его новая длина будет равна $3a$.
Новый объём куба $V_2$ будет равен: $V_2 = (3a)^3 = 3^3 \cdot a^3 = 27a^3$.
Найдём отношение объёмов:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{27a^3}{a^3} = 27$.
Это означает, что объём увеличится в 27 раз.
Ответ: увеличится в 27 раз.

в 10 раз

Пусть первоначальная длина ребра куба равна $a$, а объём $V_1 = a^3$.
Если ребро увеличить в 10 раз, то его новая длина будет равна $10a$.
Новый объём куба $V_2$ будет равен: $V_2 = (10a)^3 = 10^3 \cdot a^3 = 1000a^3$.
Найдём отношение объёмов:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{1000a^3}{a^3} = 1000$.
Это означает, что объём увеличится в 1000 раз.
Ответ: увеличится в 1000 раз.

в n раз

Пусть первоначальная длина ребра куба равна $a$, а объём $V_1 = a^3$.
Если ребро увеличить в $n$ раз, то его новая длина будет равна $n \cdot a$.
Новый объём куба $V_2$ будет равен: $V_2 = (n \cdot a)^3 = n^3 \cdot a^3$.
Найдём отношение объёмов:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{n^3 a^3}{a^3} = n^3$.
Это означает, что объём увеличится в $n^3$ раз.
Ответ: увеличится в $n^3$ раз.