Страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

429. Возведите в степень:

а) $(mn)^5$

б) $(xyz)^2$

в) $(-3y)^4$

г) $(-2ax)^3$

д) $(10xy)^2$

е) $(-2abx)^4$

ж) $(-am)^3$

з) $(-xn)^4$

Для решения данных задач используется свойство возведения произведения в степень: чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Формула: $(abc...)^n = a^n b^n c^n...$.

Также важно помнить правило знаков при возведении в степень отрицательного числа:

• При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным. Например, $(-a)^4 = a^4$.
• При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным. Например, $(-a)^3 = -a^3$.

а) Применяем свойство возведения произведения в степень для двух множителей $m$ и $n$.

$(mn)^5 = m^5 \cdot n^5 = m^5n^5$

Ответ: $m^5n^5$

б) Применяем свойство возведения произведения в степень для трех множителей $x$, $y$ и $z$.

$(xyz)^2 = x^2 \cdot y^2 \cdot z^2 = x^2y^2z^2$

Ответ: $x^2y^2z^2$

в) Возводим в 4-ю степень каждый множитель: $-3$ и $y$.

$(-3y)^4 = (-3)^4 \cdot y^4$

Показатель степени 4 является четным числом, поэтому результат возведения отрицательного числа $-3$ в эту степень будет положительным.

$(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81$

Следовательно, получаем: $81 \cdot y^4 = 81y^4$

Ответ: $81y^4$

г) Возводим в куб (3-ю степень) каждый множитель: $-2$, $a$ и $x$.

$(-2ax)^3 = (-2)^3 \cdot a^3 \cdot x^3$

Показатель степени 3 является нечетным числом, поэтому результат возведения отрицательного числа $-2$ в эту степень будет отрицательным.

$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$

В результате получаем: $-8 \cdot a^3 \cdot x^3 = -8a^3x^3$

Ответ: $-8a^3x^3$

д) Возводим в квадрат (2-ю степень) каждый множитель: $10$, $x$ и $y$.

$(10xy)^2 = 10^2 \cdot x^2 \cdot y^2$

$10^2 = 100$

Получаем: $100 \cdot x^2 \cdot y^2 = 100x^2y^2$

Ответ: $100x^2y^2$

е) Возводим в 4-ю степень каждый множитель: $-2$, $a$, $b$ и $x$.

$(-2abx)^4 = (-2)^4 \cdot a^4 \cdot b^4 \cdot x^4$

Показатель степени 4 — четное число, поэтому отрицательное основание $-2$ даст положительный результат.

$(-2)^4 = 16$

Итоговый результат: $16 \cdot a^4 \cdot b^4 \cdot x^4 = 16a^4b^4x^4$

Ответ: $16a^4b^4x^4$

ж) Возводим в 3-ю степень произведение $-a$ и $m$. Выражение $-am$ можно представить как произведение $-1$, $a$ и $m$.

$(-am)^3 = (-1)^3 \cdot a^3 \cdot m^3$

Показатель степени 3 — нечетное число, поэтому $(-1)^3 = -1$.

Таким образом, получаем: $-1 \cdot a^3 \cdot m^3 = -a^3m^3$

Ответ: $-a^3m^3$

з) Возводим в 4-ю степень произведение $-x$ и $n$. Выражение $-xn$ можно представить как произведение $-1$, $x$ и $n$.

$(-xn)^4 = (-1)^4 \cdot x^4 \cdot n^4$

Показатель степени 4 — четное число, поэтому $(-1)^4 = 1$.

В результате получаем: $1 \cdot x^4 \cdot n^4 = x^4n^4$

Ответ: $x^4n^4$

432. Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 2 раза? в 3 раза? в 10 раз? в $n$ раз?

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны. Если мы увеличиваем сторону квадрата в $k$ раз, то новая длина стороны становится $a_{новая} = k \cdot a$. Тогда новая площадь $S_{новая}$ будет равна:

$S_{новая} = (a_{новая})^2 = (k \cdot a)^2 = k^2 \cdot a^2$

Чтобы узнать, как изменилась площадь, найдем отношение новой площади к первоначальной:

$\frac{S_{новая}}{S} = \frac{k^2 \cdot a^2}{a^2} = k^2$

Это означает, что при увеличении стороны квадрата в $k$ раз, его площадь увеличивается в $k^2$ раз. Применим это общее правило для каждого из случаев, представленных в задаче.

в 2 раза?

Если сторону квадрата увеличить в 2 раза (здесь $k=2$), его площадь увеличится в $k^2 = 2^2 = 4$ раза.

Ответ: увеличится в 4 раза.

в 3 раза?

Если сторону квадрата увеличить в 3 раза (здесь $k=3$), его площадь увеличится в $k^2 = 3^2 = 9$ раз.

Ответ: увеличится в 9 раз.

в 10 раз?

Если сторону квадрата увеличить в 10 раз (здесь $k=10$), его площадь увеличится в $k^2 = 10^2 = 100$ раз.

Ответ: увеличится в 100 раз.

в n раз?

Если сторону квадрата увеличить в $n$ раз (здесь $k=n$), его площадь увеличится в $k^2 = n^2$ раз.

Ответ: увеличится в $n^2$ раз.

430. Найдите значение выражения:

а) $(2 \cdot 10)^3$;

б) $(2 \cdot 5)^4$;

в) $(3 \cdot 100)^4$;

г) $(5 \cdot 7 \cdot 20)^2$.

а) Чтобы найти значение выражения $(2 \cdot 10)^3$, можно поступить двумя способами.

Способ 1: Сначала выполнить умножение в скобках, а затем возвести результат в степень.

$ (2 \cdot 10)^3 = 20^3 $

$ 20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 400 \cdot 20 = 8000 $

Способ 2: Воспользоваться свойством возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

$ (2 \cdot 10)^3 = 2^3 \cdot 10^3 $

Вычислим каждую степень отдельно:

$ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $

$ 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 $

Теперь перемножим результаты:

$ 8 \cdot 1000 = 8000 $

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 8000

б) Чтобы найти значение выражения $(2 \cdot 5)^4$, наиболее простым способом будет сначала выполнить умножение внутри скобок.

$ 2 \cdot 5 = 10 $

Теперь необходимо возвести полученное число в четвертую степень:

$ 10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000 $

Следовательно, $(2 \cdot 5)^4 = 10^4 = 10000$.

Ответ: 10000

в) Найдем значение выражения $(3 \cdot 100)^4$.

Способ 1: Выполним умножение в скобках.

$ (3 \cdot 100)^4 = 300^4 $

Для вычисления $300^4$ представим $300$ как $3 \cdot 100$ или $3 \cdot 10^2$.

$ 300^4 = (3 \cdot 10^2)^4 = 3^4 \cdot (10^2)^4 = 3^4 \cdot 10^{2 \cdot 4} = 81 \cdot 10^8 = 8100000000 $

Способ 2: Используем свойство степени произведения.

$ (3 \cdot 100)^4 = 3^4 \cdot 100^4 $

$ 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 $

$ 100^4 = (10^2)^4 = 10^8 = 100000000 $

$ 81 \cdot 100000000 = 8100000000 $

Ответ: 8100000000

г) Найдем значение выражения $(5 \cdot 7 \cdot 20)^2$.

Для удобства вычислений воспользуемся переместительным свойством умножения и сгруппируем множители в скобках так, чтобы получить круглое число.

$ (5 \cdot 7 \cdot 20)^2 = (5 \cdot 20 \cdot 7)^2 $

Теперь выполним умножение в скобках по порядку:

$ 5 \cdot 20 = 100 $

$ 100 \cdot 7 = 700 $

Выражение принимает вид:

$ (700)^2 $

Возведем 700 в квадрат:

$ 700^2 = 700 \cdot 700 = 490000 $

Ответ: 490000

433. Как изменится объём куба, если его ребро увеличить в 2 раза? в 3 раза? в 10 раз? в n раз?

Чтобы определить, как изменится объём куба, необходимо понять зависимость объёма от длины его ребра. Объём куба $V$ с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$V = a^3$

Рассмотрим, как изменится объём при увеличении ребра в заданное количество раз.

в 2 раза

Пусть первоначальная длина ребра куба равна $a$. Тогда его первоначальный объём $V_1 = a^3$.
Если ребро увеличить в 2 раза, то его новая длина будет равна $2a$.
Новый объём куба $V_2$ будет равен: $V_2 = (2a)^3 = 2^3 \cdot a^3 = 8a^3$.
Чтобы найти, во сколько раз изменился объём, найдём отношение нового объёма к первоначальному:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{8a^3}{a^3} = 8$.
Это означает, что объём увеличится в 8 раз.
Ответ: увеличится в 8 раз.

в 3 раза

Пусть первоначальная длина ребра куба равна $a$, а объём $V_1 = a^3$.
Если ребро увеличить в 3 раза, то его новая длина будет равна $3a$.
Новый объём куба $V_2$ будет равен: $V_2 = (3a)^3 = 3^3 \cdot a^3 = 27a^3$.
Найдём отношение объёмов:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{27a^3}{a^3} = 27$.
Это означает, что объём увеличится в 27 раз.
Ответ: увеличится в 27 раз.

в 10 раз

Пусть первоначальная длина ребра куба равна $a$, а объём $V_1 = a^3$.
Если ребро увеличить в 10 раз, то его новая длина будет равна $10a$.
Новый объём куба $V_2$ будет равен: $V_2 = (10a)^3 = 10^3 \cdot a^3 = 1000a^3$.
Найдём отношение объёмов:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{1000a^3}{a^3} = 1000$.
Это означает, что объём увеличится в 1000 раз.
Ответ: увеличится в 1000 раз.

в n раз

Пусть первоначальная длина ребра куба равна $a$, а объём $V_1 = a^3$.
Если ребро увеличить в $n$ раз, то его новая длина будет равна $n \cdot a$.
Новый объём куба $V_2$ будет равен: $V_2 = (n \cdot a)^3 = n^3 \cdot a^3$.
Найдём отношение объёмов:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{n^3 a^3}{a^3} = n^3$.
Это означает, что объём увеличится в $n^3$ раз.
Ответ: увеличится в $n^3$ раз.

428. Выполните возведение в степень:

а) $(xy)^4$;

б) $(abc)^5$;

в) $(2x)^3$;

г) $(3a)^2$;

д) $(-5x)^3$;

е) $(-10ab)^2$;

ж) $(-0,2xy)^4$;

з) $(-0,5bd)^3$.

а) Чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель этого произведения возвести в данную степень. Это свойство выражается формулой $(ab)^n = a^n b^n$.

Применим это правило к выражению $(xy)^4$:

$(xy)^4 = x^4 \cdot y^4 = x^4y^4$

Ответ: $x^4y^4$.

б) Аналогично предыдущему примеру, возводим в пятую степень каждый из трех множителей: $a$, $b$ и $c$.

$(abc)^5 = a^5 \cdot b^5 \cdot c^5 = a^5b^5c^5$

Ответ: $a^5b^5c^5$.

в) В данном случае множителями являются числовой коэффициент 2 и переменная $x$. Возводим каждый из них в третью степень.

$(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3$

Вычислим значение $2^3$: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Таким образом, $(2x)^3 = 8x^3$.

Ответ: $8x^3$.

г) Возводим в квадрат (вторую степень) число 3 и переменную $a$.

$(3a)^2 = 3^2 \cdot a^2$

Вычислим значение $3^2$: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.

Следовательно, $(3a)^2 = 9a^2$.

Ответ: $9a^2$.

д) Возводим в куб (третью степень) множители -5 и $x$. Следует помнить, что при возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным.

$(-5x)^3 = (-5)^3 \cdot x^3$

Вычислим значение $(-5)^3$: $(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot (-5) = -125$.

Следовательно, $(-5x)^3 = -125x^3$.

Ответ: $-125x^3$.

е) Возводим в квадрат (вторую степень) каждый множитель: -10, $a$ и $b$. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным.

$(-10ab)^2 = (-10)^2 \cdot a^2 \cdot b^2$

Вычислим значение $(-10)^2$: $(-10)^2 = (-10) \cdot (-10) = 100$.

Следовательно, $(-10ab)^2 = 100a^2b^2$.

Ответ: $100a^2b^2$.

ж) Возводим в четвертую степень каждый множитель: -0,2, $x$ и $y$. Так как степень 4 является четным числом, отрицательное основание -0,2 даст положительный результат.

$(-0,2xy)^4 = (-0,2)^4 \cdot x^4 \cdot y^4$

Вычислим значение $(-0,2)^4$: $(-0,2)^4 = (-0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,2) = 0,04 \cdot 0,04 = 0,0016$.

Следовательно, $(-0,2xy)^4 = 0,0016x^4y^4$.

Ответ: $0,0016x^4y^4$.

з) Возводим в третью степень каждый множитель: -0,5, $b$ и $d$. Так как степень 3 является нечетным числом, отрицательное основание -0,5 даст отрицательный результат.

$(-0,5bd)^3 = (-0,5)^3 \cdot b^3 \cdot d^3$

Вычислим значение $(-0,5)^3$: $(-0,5)^3 = (-0,5) \cdot (-0,5) \cdot (-0,5) = 0,25 \cdot (-0,5) = -0,125$.

Следовательно, $(-0,5bd)^3 = -0,125b^3d^3$.

Ответ: $-0,125b^3d^3$.

431. Докажите, что:

а) квадраты противоположных чисел равны;

б) кубы противоположных чисел противоположны.

a) квадраты противоположных чисел равны;
Пусть дано произвольное число $a$. Противоположным ему будет число $-a$. Необходимо доказать, что квадраты этих чисел равны, то есть что выполняется равенство $a^2 = (-a)^2$.
Рассмотрим квадрат числа $-a$. По определению степени, это произведение числа на само себя:
$(-a)^2 = (-a) \cdot (-a)$.
Поскольку $-a$ можно представить как произведение $(-1) \cdot a$, то:
$(-a)^2 = ((-1) \cdot a) \cdot ((-1) \cdot a)$.
Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, мы можем перегруппировать множители:
$(-a)^2 = ((-1) \cdot (-1)) \cdot (a \cdot a)$.
Произведение $(-1) \cdot (-1) = 1$. Произведение $a \cdot a$ по определению равно $a^2$.
Подставляя эти значения, получаем:
$(-a)^2 = 1 \cdot a^2 = a^2$.
Таким образом, мы доказали, что $(-a)^2 = a^2$, что и требовалось.
Ответ: Утверждение доказано.

б) кубы противоположных чисел противоположны.
Пусть снова дано произвольное число $a$ и противоположное ему число $-a$. Необходимо доказать, что их кубы являются противоположными числами. Два числа являются противоположными, если одно из них равно другому, взятому со знаком минус. Математически это означает, что нам нужно доказать равенство $(-a)^3 = -(a^3)$.
Рассмотрим куб числа $-a$:
$(-a)^3 = (-a) \cdot (-a) \cdot (-a)$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $(-a) \cdot (-a) = a^2$. Подставим это в наше выражение:
$(-a)^3 = ((-a) \cdot (-a)) \cdot (-a) = a^2 \cdot (-a)$.
Представим $-a$ как произведение $(-1) \cdot a$:
$(-a)^3 = a^2 \cdot ((-1) \cdot a)$.
Вынесем множитель $-1$ вперед:
$(-a)^3 = -1 \cdot (a^2 \cdot a)$.
По определению степени, $a^2 \cdot a = a^3$.
Следовательно:
$(-a)^3 = -1 \cdot a^3 = -a^3$.
Мы получили, что куб числа $-a$ равен $-(a^3)$, то есть является числом, противоположным кубу числа $a$.
Ответ: Утверждение доказано.