Страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

393. Вычислите значение выражения $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x$ при $x = -1; 0; 10.$

при x = -1
Чтобы вычислить значение выражения при $x = -1$, подставим это значение вместо $x$ в выражение $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x$.
Получаем: $(-1)^5 + (-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 + (-1)$
При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным, а в четную — положительным:
$(-1)^5 = -1$
$(-1)^4 = 1$
$(-1)^3 = -1$
$(-1)^2 = 1$
Теперь сложим полученные значения:
$-1 + 1 - 1 + 1 - 1 = (-1 + 1) + (-1 + 1) - 1 = 0 + 0 - 1 = -1$
Ответ: -1

при x = 0
Подставим значение $x = 0$ в выражение $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x$:
$0^5 + 0^4 + 0^3 + 0^2 + 0$
Любая степень числа 0 (кроме нулевой) равна 0. Складываем нули:
$0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$
Ответ: 0

при x = 10
Подставим значение $x = 10$ в выражение $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x$:
$10^5 + 10^4 + 10^3 + 10^2 + 10$
Вычислим каждую степень числа 10:
$10^5 = 100000$
$10^4 = 10000$
$10^3 = 1000$
$10^2 = 100$
Теперь сложим все значения:
$100000 + 10000 + 1000 + 100 + 10 = 111110$
Ответ: 111110

396. Объясните, почему при любых значениях переменной $x$ значения выражений $4x^2$ и $(x-8)^2$ являются неотрицательными числами.

$4x^2$
Данное выражение состоит из произведения двух множителей: числа $4$ и $x^2$.
Число $4$ является постоянным положительным числом.
Выражение $x^2$ является квадратом переменной $x$. Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом. Это означает, что для любого значения $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$.
Поскольку мы умножаем положительное число ($4$) на неотрицательное число ($x^2$), результат этого умножения также всегда будет неотрицательным.
- Если $x \ne 0$, то $x^2 > 0$, и произведение $4x^2$ будет положительным.
- Если $x = 0$, то $x^2 = 0$, и произведение $4x^2$ будет равно $0$.
Следовательно, при любом значении $x$ выражение $4x^2$ принимает неотрицательные значения ($4x^2 \ge 0$).
Ответ: Значение выражения $4x^2$ является неотрицательным, так как оно представляет собой произведение положительного числа $4$ и квадрата числа $x$, который всегда больше или равен нулю.

$(x-8)^2$
Данное выражение представляет собой квадрат разности $(x-8)$.
Для любого действительного значения переменной $x$ разность $(x-8)$ также будет являться некоторым действительным числом.
Как уже упоминалось, квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным. Если мы обозначим разность $(x-8)$ как $y$, то выражение примет вид $y^2$. Мы знаем, что $y^2 \ge 0$ для любого действительного числа $y$.
Следовательно, выражение $(x-8)^2$ всегда будет больше или равно нулю при любом значении $x$.
- Значение выражения равно нулю, если основание степени равно нулю, то есть $x-8=0$, что происходит при $x=8$.
- Во всех остальных случаях, когда $x \ne 8$, основание степени $(x-8)$ не равно нулю, и его квадрат $(x-8)^2$ будет строго положительным числом.
Таким образом, при любом значении $x$ выражение $(x-8)^2$ принимает неотрицательные значения ($(x-8)^2 \ge 0$).
Ответ: Значение выражения $(x-8)^2$ является неотрицательным, так как это квадрат некоторого числа $(x-8)$, а квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю.

399. Прочитайте выражение:

а) $(x+y)^2$;

б) $x^2+y^2$;

в) $(x-y)^2$;

г) $x^2-y^2$;

д) $(x-y)^3$;

е) $x^3+y^3$;

ж) $2(a-b)^2$;

з) $3(a^2+b^2)$.

а) Выражение $(x + y)^2$ представляет собой квадрат суммы двух величин $x$ и $y$.

Ответ: квадрат суммы икса и игрека.

б) Выражение $x^2 + y^2$ представляет собой сумму квадратов двух величин $x$ и $y$.

Ответ: сумма квадратов икса и игрека.

в) Выражение $(x - y)^2$ представляет собой квадрат разности двух величин $x$ и $y$.

Ответ: квадрат разности икса и игрека.

г) Выражение $x^2 - y^2$ представляет собой разность квадратов двух величин $x$ и $y$.

Ответ: разность квадратов икса и игрека.

д) Выражение $(x - y)^3$ представляет собой куб разности двух величин $x$ и $y$.

Ответ: куб разности икса и игрека.

е) Выражение $x^3 + y^3$ представляет собой сумму кубов двух величин $x$ и $y$.

Ответ: сумма кубов икса и игрека.

ж) Выражение $2(a - b)^2$ представляет собой произведение числа 2 на квадрат разности двух величин $a$ и $b$.

Ответ: удвоенный квадрат разности а и б.

з) Выражение $3(a^2 + b^2)$ представляет собой произведение числа 3 на сумму квадратов двух величин $a$ и $b$.

Ответ: утроенная сумма квадратов а и б.

391. Найдите значение выражения:

a) $0.01y^4$ при $y = -2; 2; -3; 3; -10; 10;

б) $2c^2 + 3$ при $c = -11; 11; 0; -15; 15.

а)

Для того чтобы найти значение выражения $0.01y^4$, необходимо подставить в него поочередно каждое из заданных значений переменной $y$.

Заметим, что переменная $y$ возводится в четную степень (4), поэтому результат вычисления будет одинаковым для противоположных по знаку значений $y$, так как $(-y)^4 = y^4$.

При $y = -2$ и $y = 2$:
$0.01 \cdot (\pm 2)^4 = 0.01 \cdot 16 = 0.16$

При $y = -3$ и $y = 3$:
$0.01 \cdot (\pm 3)^4 = 0.01 \cdot 81 = 0.81$

При $y = -10$ и $y = 10$:
$0.01 \cdot (\pm 10)^4 = 0.01 \cdot 10000 = 100$

Ответ: при $y = -2$ значение равно 0,16; при $y = 2$ – 0,16; при $y = -3$ – 0,81; при $y = 3$ – 0,81; при $y = -10$ – 100; при $y = 10$ – 100.

б)

Для того чтобы найти значение выражения $2c^2 + 3$, необходимо подставить в него поочередно каждое из заданных значений переменной $c$.

Так как переменная $c$ возводится в четную степень (2), результат вычисления будет одинаковым для противоположных по знаку значений $c$, так как $(-c)^2 = c^2$.

При $c = -11$ и $c = 11$:
$2 \cdot (\pm 11)^2 + 3 = 2 \cdot 121 + 3 = 242 + 3 = 245$

При $c = 0$:
$2 \cdot 0^2 + 3 = 2 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$

При $c = -15$ и $c = 15$:
$2 \cdot (\pm 15)^2 + 3 = 2 \cdot 225 + 3 = 450 + 3 = 453$

Ответ: при $c = -11$ значение равно 245; при $c = 11$ – 245; при $c = 0$ – 3; при $c = -15$ – 453; при $c = 15$ – 453.

394. (Задача-исследование.) Найдите всевозможные значения $a$, где $a$ — натуральное число, при которых число 90 является наименьшим общим кратным чисел 15 и $a$.

1) Разложите на простые множители каждое из чисел 90 и 15.

2) Обсудите, какие множители должны входить в разложение числа $a$.

3) Сделайте вывод о значениях числа $a$.

1) Разложите на простые множители каждое из чисел 90 и 15.

Чтобы разложить число на простые множители, нужно последовательно делить его на простые числа (2, 3, 5, 7 и т.д.), пока в результате не получится 1.

Разложение числа 90:

$90 | 2$

$45 | 3$

$15 | 3$

$5 | 5$

$1$

Таким образом, разложение числа 90 на простые множители: $90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Разложение числа 15:

$15 | 3$

$5 | 5$

$1$

Таким образом, разложение числа 15 на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$.

Ответ: $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$; $15 = 3 \cdot 5$.

2) Обсудите, какие множители должны входить в разложение числа a.

По определению, наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Чтобы найти НОК через разложение на простые множители, нужно выписать все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений, и взять каждый из них с наибольшим показателем степени, с которым он встречается в разложениях.

Нам дано, что НОК(15, a) = 90. Запишем известные разложения:

НОК(15, a) = $2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1$

$15 = 3^1 \cdot 5^1$ (или $2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^1$)

Пусть разложение числа $a$ на простые множители имеет вид $a = 2^x \cdot 3^y \cdot 5^z \cdot \dots$, где $x, y, z$ — целые неотрицательные числа.

Сравним показатели степеней для каждого простого множителя:

• Множитель 2: В разложении НОК есть $2^1$. В разложении числа 15 множителя 2 нет (или он в степени 0). Чтобы в НОК появился множитель $2^1$, он должен присутствовать в разложении числа $a$ именно в первой степени. Значит, $x=1$.

• Множитель 3: В разложении НОК есть $3^2$. В разложении числа 15 есть $3^1$. Чтобы в НОК появился множитель $3^2$ (т.е. с наибольшим показателем 2), он должен присутствовать в разложении числа $a$ именно во второй степени. Значит, $y=2$.

• Множитель 5: В разложении НОК есть $5^1$. В разложении числа 15 также есть $5^1$. Это означает, что в разложении числа $a$ множитель 5 может быть либо в степени 0 (отсутствовать), либо в степени 1. Наибольший показатель все равно будет 1. Значит, $z$ может быть равен 0 или 1.

• Другие простые множители: В разложении числа 90 нет других простых множителей. Следовательно, и в разложении числа $a$ их быть не может, иначе они бы вошли в разложение НОК.

Ответ: Разложение числа $a$ обязательно должно содержать множители $2$ в первой степени ($2^1$) и $3$ во второй степени ($3^2$). Множитель $5$ может входить в разложение в нулевой ($5^0$) или первой ($5^1$) степени. Других простых множителей в разложении числа $a$ быть не может.

3) Сделайте вывод о значениях числа a.

Основываясь на анализе из пункта 2, мы можем определить все возможные значения числа $a$. Разложение числа $a$ должно быть вида $a = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^z$, где показатель $z$ может быть 0 или 1.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $z = 0$:

$a = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^0 = 2 \cdot 9 \cdot 1 = 18$.

Проверим: НОК(15, 18) = НОК($3 \cdot 5$, $2 \cdot 3^2$) = $2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 90$. Это значение подходит.

2. Если $z = 1$:

$a = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$.

Проверим: НОК(15, 90) = 90, так как 90 кратно 15. Это значение тоже подходит.

Следовательно, существуют два натуральных числа $a$, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: $a$ может принимать значения 18 и 90.

397. (Для работы в парах.) Даны выражения:

$a^2 + 1$, $-a^4$, $3 + (5 - a)^2$, $-a - a^3$, $-a^2 + 8$, $3a + 4$, $a^4 + a^2 + 8$, $-a^6 - 4a^8 - 1$, $-7a - 4$, $-a^8 - 9$.

Какие из этих выражений принимают:

а) только положительные значения;

б) только отрицательные значения?

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнено задание.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

Проанализируем каждое из данных выражений, чтобы определить, какие из них принимают значения строго одного знака при любых значениях переменной a.

а) только положительные значения

Выражение принимает только положительные значения, если оно строго больше нуля ($>0$) при любом значении a. Проверим выражения, удовлетворяющие этому условию.

Выражение $a^2 + 1$. Квадрат любого действительного числа $a^2$ является неотрицательным, то есть $a^2 \ge 0$. Следовательно, сумма $a^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$. Так как значение выражения всегда больше или равно 1, оно всегда положительно.

Выражение $3 + (5 - a)^2$. Скобка в квадрате $(5 - a)^2$ всегда неотрицательна: $(5 - a)^2 \ge 0$. Поэтому всё выражение $3 + (5 - a)^2 \ge 3 + 0 = 3$. Так как значение выражения всегда больше или равно 3, оно всегда положительно.

Выражение $a^4 + a^2 + 8$. Степени с четным показателем $a^4$ и $a^2$ неотрицательны, поэтому $a^4 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$. Их сумма также неотрицательна: $a^4 + a^2 \ge 0$. Следовательно, значение всего выражения $a^4 + a^2 + 8 \ge 0 + 8 = 8$, то есть оно всегда положительно.

Остальные выражения не подходят, так как могут принимать отрицательные значения или значение 0. Например: при $a=1$, $3a+4=7$, а при $a=-2$, $3a+4=-2$; выражение $-a^4$ равно 0 при $a=0$.

Ответ: $a^2 + 1$, $3 + (5 - a)^2$, $a^4 + a^2 + 8$.

б) только отрицательные значения

Выражение принимает только отрицательные значения, если оно строго меньше нуля ($<0$) при любом значении a. Проверим выражения, удовлетворяющие этому условию.

Выражение $-a^6 - 4a^8 - 1$. Вынесем знак минус за скобки: $-(a^6 + 4a^8 + 1)$. Внутри скобок все слагаемые, содержащие переменную, имеют четные степени, поэтому $a^6 \ge 0$ и $4a^8 \ge 0$. Тогда сумма в скобках $a^6 + 4a^8 + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1$. Поскольку выражение в скобках всегда положительно (не меньше 1), то исходное выражение, имея знак минус впереди, всегда будет отрицательным (не больше -1).

Выражение $-a^8 - 9$. Степень $a^8$ всегда неотрицательна: $a^8 \ge 0$. Тогда $-a^8 \le 0$. Следовательно, всё выражение $-a^8 - 9 \le 0 - 9 = -9$. Так как значение выражения всегда меньше или равно -9, оно всегда отрицательно.

Остальные выражения не подходят, так как могут принимать положительные значения или значение 0. Например: при $a=0$, $-a^2+8=8$; выражение $-a-a^3$ равно $10$ при $a=-2$.

Ответ: $-a^6 - 4a^8 - 1$, $-a^8 - 9$.

392. Чему равны значения выражений:

a) $x^2$; $-x^2$; $(-x)^2$ при $x = -9$; 9; -6; 6; -2; 2;

б) $x^3$; $-x^3$; $(-x)^3$ при $x = -4$; 4; -3; 3; -1; 1?

а) Вычислим значения выражений $x^2$, $-x^2$ и $(-x)^2$ при $x = -9; 9; -6; 6; -2; 2$.
При решении важно помнить о порядке действий: возведение в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус (взятие противоположного числа). Также учтем свойство степени: $(-x)^2 = x^2$, так как четная степень от отрицательного числа дает положительный результат.

При $x = -9$:
$x^2 = (-9)^2 = 81$
$-x^2 = -((-9)^2) = -81$
$(-x)^2 = (-(-9))^2 = 9^2 = 81$

При $x = 9$:
$x^2 = 9^2 = 81$
$-x^2 = -(9^2) = -81$
$(-x)^2 = (-9)^2 = 81$

При $x = -6$:
$x^2 = (-6)^2 = 36$
$-x^2 = -((-6)^2) = -36$
$(-x)^2 = (-(-6))^2 = 6^2 = 36$

При $x = 6$:
$x^2 = 6^2 = 36$
$-x^2 = -(6^2) = -36$
$(-x)^2 = (-6)^2 = 36$

При $x = -2$:
$x^2 = (-2)^2 = 4$
$-x^2 = -((-2)^2) = -4$
$(-x)^2 = (-(-2))^2 = 2^2 = 4$

При $x = 2$:
$x^2 = 2^2 = 4$
$-x^2 = -(2^2) = -4$
$(-x)^2 = (-2)^2 = 4$

Ответ:
При $x = -9$: $81; -81; 81$
При $x = 9$: $81; -81; 81$
При $x = -6$: $36; -36; 36$
При $x = 6$: $36; -36; 36$
При $x = -2$: $4; -4; 4$
При $x = 2$: $4; -4; 4$

б) Вычислим значения выражений $x^3$, $-x^3$ и $(-x)^3$ при $x = -4; 4; -3; 3; -1; 1$.
Для нечетной степени, такой как куб, знак основания сохраняется. То есть, $(-x)^3 = -x^3$.

При $x = -4$:
$x^3 = (-4)^3 = -64$
$-x^3 = -((-4)^3) = -(-64) = 64$
$(-x)^3 = (-(-4))^3 = 4^3 = 64$

При $x = 4$:
$x^3 = 4^3 = 64$
$-x^3 = -(4^3) = -64$
$(-x)^3 = (-4)^3 = -64$

При $x = -3$:
$x^3 = (-3)^3 = -27$
$-x^3 = -((-3)^3) = -(-27) = 27$
$(-x)^3 = (-(-3))^3 = 3^3 = 27$

При $x = 3$:
$x^3 = 3^3 = 27$
$-x^3 = -(3^3) = -27$
$(-x)^3 = (-3)^3 = -27$

При $x = -1$:
$x^3 = (-1)^3 = -1$
$-x^3 = -((-1)^3) = -(-1) = 1$
$(-x)^3 = (-(-1))^3 = 1^3 = 1$

При $x = 1$:
$x^3 = 1^3 = 1$
$-x^3 = -(1^3) = -1$
$(-x)^3 = (-1)^3 = -1$

Ответ:
При $x = -4$: $-64; 64; 64$
При $x = 4$: $64; -64; -64$
При $x = -3$: $-27; 27; 27$
При $x = 3$: $27; -27; -27$
При $x = -1$: $-1; 1; 1$
При $x = 1$: $1; -1; -1$

395. Представьте произведение в виде степени с основанием $a$:

а) $a^3a$;

б) $a^4a^2$;

в) $a^3a^6$;

г) $a^{20}a^{12}$.

Для решения этой задачи используется основное свойство степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Это правило можно записать в виде формулы: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

а) В выражении $a^3a$ необходимо умножить $a^3$ на $a$. Переменная $a$ без указания степени равна $a^1$. Таким образом, мы имеем произведение $a^3 \cdot a^1$. Применяя правило сложения показателей, получаем: $a^3 \cdot a^1 = a^{3+1} = a^4$.
Ответ: $a^4$

б) В выражении $a^4a^2$ мы умножаем две степени с одинаковым основанием $a$. Складываем их показатели: $a^4 \cdot a^2 = a^{4+2} = a^6$.
Ответ: $a^6$

в) Аналогично предыдущим примерам, в выражении $a^3a^6$ складываем показатели степеней: $a^3 \cdot a^6 = a^{3+6} = a^9$.
Ответ: $a^9$

г) В выражении $a^{20}a^{12}$ также используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^{20} \cdot a^{12} = a^{20+12} = a^{32}$.
Ответ: $a^{32}$

398. Запишите в виде выражения:

а) квадрат суммы чисел x и 1;

б) сумму квадратов чисел a и b;

в) разность квадратов чисел m и n;

г) квадрат разности чисел m и n;

д) удвоенное произведение квадратов чисел x и y;

е) удвоенное произведение куба a и квадрата b.

а) Чтобы записать "квадрат суммы чисел $x$ и $1$", мы сначала находим сумму этих чисел, что дает нам выражение $x + 1$. Затем, согласно условию, мы должны возвести эту сумму в квадрат. Для этого берем все выражение в скобки и возводим во вторую степень: $(x+1)^2$.
Ответ: $(x+1)^2$

б) "Сумма квадратов чисел $a$ и $b$" означает, что мы должны сначала найти квадрат каждого числа по отдельности, а затем сложить результаты. Квадрат числа $a$ — это $a^2$. Квадрат числа $b$ — это $b^2$. Их сумма будет равна $a^2 + b^2$.
Ответ: $a^2 + b^2$

в) "Разность квадратов чисел $m$ и $n$" требует, чтобы мы сначала возвели каждое число в квадрат, а потом нашли разность получившихся значений. Квадрат числа $m$ — это $m^2$. Квадрат числа $n$ — это $n^2$. Разность этих квадратов записывается как $m^2 - n^2$.
Ответ: $m^2 - n^2$

г) Чтобы записать "квадрат разности чисел $m$ и $n$", мы сначала находим разность этих чисел: $m - n$. После этого полученную разность возводим в квадрат. Важно использовать скобки, чтобы показать, что в квадрат возводится именно разность целиком: $(m - n)^2$.
Ответ: $(m - n)^2$

д) "Удвоенное произведение квадратов чисел $x$ и $y$" составляется по шагам. Квадрат числа $x$ — это $x^2$. Квадрат числа $y$ — это $y^2$. Их произведение — это $x^2y^2$. "Удвоенное" означает, что это произведение нужно умножить на 2. В итоге получаем выражение $2x^2y^2$.
Ответ: $2x^2y^2$

е) Для выражения "удвоенное произведение куба $a$ и квадрата $b$" сначала определим его части. Куб числа $a$ — это $a^3$. Квадрат числа $b$ — это $b^2$. Их произведение равно $a^3b^2$. "Удвоенное" произведение означает умножение на 2, что дает нам итоговое выражение $2a^3b^2$.
Ответ: $2a^3b^2$