Страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

360. Функция задана формулой $y = 0.2x - 4$. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному $-25; -12; 45; 60$. При каком значении аргумента значение функции равно $0; 1$? Существует ли такое значение $x$, при котором:

a) значение функции равно значению аргумента;

б) значение функции противоположно значению аргумента?

Дана функция, заданная формулой $y = 0.2x - 4$.

1. Найдем значение функции (y) для заданных значений аргумента (x).

Для этого последовательно подставим значения $x$ в формулу функции:

• Если $x = -25$, то $y = 0.2 \cdot (-25) - 4 = -5 - 4 = -9$.
• Если $x = -12$, то $y = 0.2 \cdot (-12) - 4 = -2.4 - 4 = -6.4$.
• Если $x = 45$, то $y = 0.2 \cdot 45 - 4 = 9 - 4 = 5$.
• Если $x = 60$, то $y = 0.2 \cdot 60 - 4 = 12 - 4 = 8$.

Ответ: при $x$ равном -25; -12; 45; 60 значения функции соответственно равны -9; -6.4; 5; 8.

2. Найдем значение аргумента (x), при котором значение функции (y) равно 0 и 1.

Для этого подставим значения $y$ в формулу и решим полученные уравнения относительно $x$.

Если $y = 0$:

$0 = 0.2x - 4$

$4 = 0.2x$

$x = \frac{4}{0.2} = 20$

Если $y = 1$:

$1 = 0.2x - 4$

$5 = 0.2x$

$x = \frac{5}{0.2} = 25$

Ответ: значение функции равно 0 при $x = 20$; значение функции равно 1 при $x = 25$.

3. Проверим, существует ли такое значение x, при котором выполняются следующие условия.

а) значение функции равно значению аргумента

Это условие означает, что $y = x$. Подставим $x$ вместо $y$ в уравнение функции:

$x = 0.2x - 4$

$x - 0.2x = -4$

$0.8x = -4$

$x = \frac{-4}{0.8} = -5$

Такое значение $x$ существует.

Ответ: да, существует, при $x = -5$.

б) значение функции противоположно значению аргумента

Это условие означает, что $y = -x$. Подставим $-x$ вместо $y$ в уравнение функции:

$-x = 0.2x - 4$

$4 = 0.2x + x$

$4 = 1.2x$

$x = \frac{4}{1.2} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$

Такое значение $x$ существует.

Ответ: да, существует, при $x = \frac{10}{3}$.

363. Масса одного гвоздя равна 5 г, а масса пустого ящика равна 400 г. Какова масса $m$ (в граммах) ящика, в котором лежит $x$ гвоздей? Составьте формулу, выражающую зависимость $m$ от $x$. Является ли функция, заданная этой формулой, линейной?

Составьте формулу, выражающую зависимость m от x.

Чтобы найти общую массу $m$ ящика с гвоздями, нужно сложить массу пустого ящика и общую массу всех гвоздей, которые в нем находятся.

1. Масса пустого ящика задана в условии и равна 400 г.

2. Масса одного гвоздя равна 5 г. Если в ящике находится $x$ гвоздей, то их общая масса вычисляется как произведение массы одного гвоздя на их количество: $5 \cdot x = 5x$ г.

3. Теперь сложим массу ящика и массу гвоздей, чтобы получить общую массу $m$:
$m = \text{масса ящика} + \text{масса гвоздей}$
$m = 400 + 5x$

Для удобства можно записать формулу в стандартном виде для функции, поменяв слагаемые местами: $m(x) = 5x + 400$.

Ответ: Формула, выражающая зависимость $m$ от $x$, имеет вид $m = 5x + 400$.

Является ли функция, заданная этой формулой, линейной?

Линейной функцией называется функция вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).

Наша функция задана формулой $m = 5x + 400$. Сравним ее с общим видом линейной функции $y = kx + b$.

В данном случае:
- зависимая переменная $y$ соответствует общей массе $m$;
- независимая переменная $x$ соответствует количеству гвоздей $x$;
- угловой коэффициент $k$ равен 5;
- свободный член $b$ (показывающий значение функции при $x=0$) равен 400, что соответствует массе пустого ящика.

Так как формула $m = 5x + 400$ полностью соответствует общему виду линейной функции $y = kx + b$, то данная функция является линейной.

Ответ: Да, функция является линейной.

366. Скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры воздуха может быть найдена приближённо по формуле $v = 331 + 0,6t$, где $v$ — скорость (в метрах в секунду), $t$ — температура (в градусах Цельсия). Найдите, с какой скоростью распространяется звук в зимний день с температурой $-35 \text{ }^\circ\text{C}$ и в летний день с температурой $+30 \text{ }^\circ\text{C}$.

Для решения задачи воспользуемся данной формулой для нахождения скорости распространения звука в воздухе в зависимости от температуры:

$v = 331 + 0,6t$

где $v$ — это скорость звука в метрах в секунду (м/с), а $t$ — температура воздуха в градусах Цельсия (°C).

Скорость звука в зимний день с температурой -35 °C

Подставим в формулу значение температуры $t = -35$:

$v = 331 + 0,6 \times (-35)$

Выполним умножение:

$0,6 \times (-35) = -21$

Теперь выполним сложение:

$v = 331 - 21 = 310$ (м/с)

Ответ: скорость звука при температуре -35 °C составляет 310 м/с.

Скорость звука в летний день с температурой +30 °C

Подставим в формулу значение температуры $t = 30$:

$v = 331 + 0,6 \times 30$

Выполним умножение:

$0,6 \times 30 = 18$

Теперь выполним сложение:

$v = 331 + 18 = 349$ (м/с)

Ответ: скорость звука при температуре +30 °C составляет 349 м/с.

361. Зная, что зависимость $y$ от $x$ является линейной функцией, заполните таблицу:

a) $x$: -2, 0, 2, 4, 6

$y$: (пусто), -8, 12, (пусто), (пусто)

б) $x$: -10, 0, 10, 30, (пусто)

$y$: -15, (пусто), 5, 6, 15

а)

Поскольку зависимость $y$ от $x$ является линейной, ее можно описать уравнением вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член.

Для нахождения коэффициентов $k$ и $b$ воспользуемся двумя известными точками из таблицы: $(0, -8)$ и $(2, 12)$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$ по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$:

$k = \frac{12 - (-8)}{2 - 0} = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

2. Теперь найдем коэффициент $b$. Уравнение функции принимает вид $y = 10x + b$. Подставим в него координаты точки $(0, -8)$, так как при $x=0$ значение $y$ равно $b$:

$-8 = 10 \cdot 0 + b$

$b = -8$.

Таким образом, уравнение искомой линейной функции: $y = 10x - 8$.

3. Теперь, используя это уравнение, найдем недостающие значения $y$ в таблице, подставляя соответствующие значения $x$:

При $x = -2$: $y = 10(-2) - 8 = -20 - 8 = -28$.

При $x = 4$: $y = 10(4) - 8 = 40 - 8 = 32$.

При $x = 6$: $y = 10(6) - 8 = 60 - 8 = 52$.

Ответ:

б)

По условию, зависимость $y$ от $x$ является линейной функцией $y = kx + b$. Однако, если проверить данные в таблице, можно увидеть, что они не лежат на одной прямой. Например, угловой коэффициент, рассчитанный по первым двум точкам $(-10, -15)$ и $(0, 5)$, равен:

$k_1 = \frac{5 - (-15)}{0 - (-10)} = \frac{20}{10} = 2$.

А угловой коэффициент для точек $(0, 5)$ и $(10, 6)$ равен:

$k_2 = \frac{6 - 5}{10 - 0} = \frac{1}{10} = 0.1$.

Поскольку $k_1 \neq k_2$, данные в таблице противоречивы. В таких случаях принято считать, что первые две точки задают линейную функцию, а остальные значения в таблице нужно исправить.

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $(-10, -15)$ и $(0, 5)$.

Угловой коэффициент мы уже нашли: $k=2$.

Коэффициент $b$ (свободный член) — это значение $y$ при $x=0$. Из точки $(0, 5)$ следует, что $b=5$.

Итак, искомое уравнение линейной функции: $y = 2x + 5$.

2. Используя это уравнение, пересчитаем значения $y$ для всех $x$ из таблицы, чтобы она соответствовала линейной функции:

При $x = -10$: $y = 2(-10) + 5 = -20 + 5 = -15$. (Совпадает с табличным)

При $x = 0$: $y = 2(0) + 5 = 5$. (Совпадает с табличным)

При $x = 10$: $y = 2(10) + 5 = 20 + 5 = 25$. (Исправляем значение 6 на 25)

При $x = 30$: $y = 2(30) + 5 = 60 + 5 = 65$. (Исправляем значение 15 на 65)

Ответ:

364. При каком значении $a$ точка $A(a; -1,4)$ принадлежит графику прямой пропорциональности $y = 3,5x$?

По условию, точка $A(a; -1,4)$ принадлежит графику функции прямой пропорциональности $y = 3,5x$.

Это означает, что координаты точки $A$ должны удовлетворять уравнению данной функции. Для точки $A$ абсцисса (координата по оси x) равна $a$, а ордината (координата по оси y) равна $-1,4$.

Подставим значения $x = a$ и $y = -1,4$ в уравнение $y = 3,5x$:

$-1,4 = 3,5 \cdot a$

Чтобы найти значение $a$, необходимо решить это линейное уравнение. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент при $a$, то есть на 3,5:

$a = \frac{-1,4}{3,5}$

Для упрощения вычислений можно умножить числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы работать с целыми числами:

$a = \frac{-14}{35}$

Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 14 и 35 равен 7. Разделим числитель и знаменатель на 7:

$a = -\frac{14 \div 7}{35 \div 7} = -\frac{2}{5}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$a = -0,4$

Таким образом, при значении $a = -0,4$ точка $A(-0,4; -1,4)$ будет принадлежать графику функции $y = 3,5x$.

Ответ: $a = -0,4$.

367. Пересекает ли ось x график линейной функции и если пересекает, то в какой точке:

а) $y = 100 - 25x$;

б) $y = 7x + 49$;

в) $y = 200x$;

г) $y = -75x$;

д) $y = -15$;

е) $y = 15?$;

График функции пересекает ось $x$ (ось абсцисс) в точке, в которой координата $y$ равна нулю. Чтобы определить, пересекает ли график функции ось $x$ и найти точку пересечения, необходимо в уравнении функции подставить $y=0$ и решить полученное уравнение относительно $x$. Если уравнение имеет решение, то график пересекает ось $x$. Если решения нет, то не пересекает.

а) Дана функция $y = 100 - 25x$.
Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k=-25 \neq 0$, поэтому её график пересекает ось $x$.
Чтобы найти точку пересечения, приравняем $y$ к нулю:
$0 = 100 - 25x$
Перенесем $25x$ в левую часть уравнения:
$25x = 100$
Разделим обе части на 25, чтобы найти $x$:
$x = \frac{100}{25}$
$x = 4$
Таким образом, график функции пересекает ось $x$ в точке с координатами $(4, 0)$.
Ответ: Да, пересекает в точке $(4, 0)$.

б) Дана функция $y = 7x + 49$.
Это линейная функция, у которой угловой коэффициент $k=7 \neq 0$, следовательно, её график пересекает ось $x$.
Приравняем $y$ к нулю:
$0 = 7x + 49$
Перенесем 49 в левую часть с противоположным знаком:
$-49 = 7x$
Разделим обе части на 7:
$x = \frac{-49}{7}$
$x = -7$
График пересекает ось $x$ в точке с координатами $(-7, 0)$.
Ответ: Да, пересекает в точке $(-7, 0)$.

в) Дана функция $y = 200x$.
Это прямая пропорциональность, частный случай линейной функции, где $k=200 \neq 0$. График проходит через начало координат и пересекает ось $x$.
Приравняем $y$ к нулю:
$0 = 200x$
$x = \frac{0}{200}$
$x = 0$
График пересекает ось $x$ в точке $(0, 0)$, то есть в начале координат.
Ответ: Да, пересекает в точке $(0, 0)$.

г) Дана функция $y = -75x$.
Как и в предыдущем случае, это прямая пропорциональность ($k=-75 \neq 0$), график которой пересекает ось $x$ в начале координат.
Приравняем $y$ к нулю:
$0 = -75x$
$x = \frac{0}{-75}$
$x = 0$
График пересекает ось $x$ в точке $(0, 0)$.
Ответ: Да, пересекает в точке $(0, 0)$.

д) Дана функция $y = -15$.
Это постоянная функция, частный случай линейной функции, где угловой коэффициент $k=0$. Её график — это прямая, параллельная оси $x$ и проходящая через точку $(0, -15)$ на оси $y$.
Так как значение $y$ всегда равно -15 и никогда не может быть равно 0, эта прямая не пересекает ось $x$.
Ответ: Нет, не пересекает.

е) Дана функция $y = 15$.
Это также постоянная функция с $k=0$. Её график — это прямая, параллельная оси $x$ и проходящая через точку $(0, 15)$.
Поскольку значение $y$ всегда равно 15, оно никогда не будет равно 0. Следовательно, график не пересекает ось $x$.
Ответ: Нет, не пересекает.

362. В таблице указаны некоторые значения аргумента и соответствующие им значения линейной функции. Подберите формулу, которой можно задать эту функцию.

Поскольку функция является линейной, ее общий вид задается формулой $y = kx + b$, где $x$ — аргумент, $y$ — значение функции, $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (y-перехват).

Наша задача — найти значения коэффициентов $k$ и $b$, используя данные из таблицы.

Для нахождения углового коэффициента $k$ можно использовать координаты двух любых точек из таблицы $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Возьмем первые две точки из таблицы: $(1; 11)$ и $(2; 21)$.

Подставим их значения в формулу:

$k = \frac{21 - 11}{2 - 1} = \frac{10}{1} = 10$

Теперь мы знаем, что формула функции имеет вид $y = 10x + b$.

Чтобы найти коэффициент $b$, подставим координаты любой точки из таблицы в полученное уравнение. Возьмем, к примеру, точку $(1; 11)$:

$11 = 10 \cdot 1 + b$

$11 = 10 + b$

Отсюда находим $b$:

$b = 11 - 10 = 1$

Таким образом, искомая формула имеет вид: $y = 10x + 1$.

Для уверенности можно выполнить проверку, подставив другую пару значений из таблицы, например, $(x=7, y=71)$:

$y = 10 \cdot 7 + 1 = 70 + 1 = 71$

Значение совпадает с табличным, следовательно, формула найдена верно.

Ответ: $y = 10x + 1$

365. Функция задана формулой $y = \frac{1}{4}x + 3$, где $-4 \le x \le 8$. Постройте график этой функции и укажите все целые значения, которые может принимать эта функция.

Постройте график этой функции

Функция задана формулой $y = \frac{1}{4}x + 3$ на отрезке $-4 \le x \le 8$. Это линейная функция, поэтому её графиком является отрезок прямой. Для построения этого отрезка найдем координаты его конечных точек, то есть значения функции на границах заданного промежутка.

1. Вычислим значение $y$ при $x = -4$ (левая граница отрезка):
$y = \frac{1}{4} \cdot (-4) + 3 = -1 + 3 = 2$.
Координаты первой конечной точки: $(-4, 2)$.

2. Вычислим значение $y$ при $x = 8$ (правая граница отрезка):
$y = \frac{1}{4} \cdot 8 + 3 = 2 + 3 = 5$.
Координаты второй конечной точки: $(8, 5)$.

График функции — это отрезок прямой, который соединяет точки $(-4, 2)$ и $(8, 5)$.

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(-4, 2)$ и $(8, 5)$.

Укажите все целые значения, которые может принимать эта функция

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$. Поскольку функция $y = \frac{1}{4}x + 3$ является возрастающей (так как её угловой коэффициент $k = \frac{1}{4}$ положителен), её наименьшее значение на отрезке $[-4, 8]$ достигается при наименьшем значении $x$, а наибольшее — при наибольшем значении $x$.

Из предыдущего пункта мы уже нашли эти значения:
Наименьшее значение функции: $y_{min} = y(-4) = 2$.
Наибольшее значение функции: $y_{max} = y(8) = 5$.

Следовательно, функция принимает все действительные значения из отрезка $[2, 5]$. Нам необходимо указать все целые числа, которые принадлежат этому отрезку.

Целые числа из отрезка $[2, 5]$: 2, 3, 4, 5.

Ответ: 2, 3, 4, 5.