Страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Что является графиком линейной функции? Как построить график линейной функции?

Что является графиком линейной функции?

Линейной функцией называется функция вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа. Графиком любой линейной функции является прямая линия.

Число $k$ называется угловым коэффициентом прямой. Он показывает угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (оси $Ox$).

• Если $k > 0$, то функция возрастает (прямая "идет вверх" слева направо).
• Если $k < 0$, то функция убывает (прямая "идет вниз" слева направо).
• Если $k = 0$, то функция принимает вид $y = b$, и ее график — это прямая, параллельная оси $Ox$.

Число $b$ называется свободным членом. Оно показывает ординату точки, в которой график функции пересекает ось ординат (ось $Oy$). Эта точка имеет координаты $(0, b)$.

Ответ: Графиком линейной функции является прямая линия.

Как построить график линейной функции?

Поскольку графиком линейной функции является прямая, для ее построения достаточно знать координаты всего двух точек, принадлежащих этой прямой. Это следует из аксиомы геометрии: через две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Алгоритм построения графика функции $y = kx + b$ следующий:

1. Выбрать два произвольных, удобных для вычисления значения аргумента $x$ (например, $x_1$ и $x_2$).
2. Подставить эти значения в уравнение функции и вычислить соответствующие им значения функции $y_1 = kx_1 + b$ и $y_2 = kx_2 + b$.
3. В результате получаются координаты двух точек: $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$. Для удобства их можно занести в таблицу.
4. Отметить эти две точки на координатной плоскости.
5. С помощью линейки провести через эти две точки прямую. Эта прямая и будет являться графиком данной линейной функции.

Пример: Построим график функции $y = 2x - 3$.

1. Возьмем два значения $x$. Пусть $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
2. Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Получили точку $(0, -3)$.
Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 2 \cdot 3 - 3 = 6 - 3 = 3$. Получили точку $(3, 3)$.
3. Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, -3)$ и $(3, 3)$.
4. Проводим через них прямую. Это и есть график функции $y = 2x - 3$.

Ответ: Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих графику, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

6 В каком случае графики двух линейных функций пересекаются и в каком случае они являются параллельными прямыми?

Для анализа взаимного расположения графиков двух линейных функций, рассмотрим их уравнения в общем виде:

$y_1 = k_1x + b_1$

$y_2 = k_2x + b_2$

Здесь $k_1$ и $k_2$ — это угловые коэффициенты, которые определяют угол наклона прямой относительно положительного направления оси Ох. Параметры $b_1$ и $b_2$ — это свободные члены, которые показывают, в какой точке прямая пересекает ось ординат (ось Оу).

В каком случае графики пересекаются

Графики двух линейных функций, являющиеся прямыми линиями, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда у них разные углы наклона. Поскольку угол наклона определяется угловым коэффициентом $k$, то для пересечения прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты не были равны. При этом значения свободных членов $b_1$ и $b_2$ могут быть любыми.

Условие пересечения: $k_1 \neq k_2$.

Ответ: Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$).

В каком случае они являются параллельными прямыми

Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и никогда не пересекаются. Это означает, что у них должен быть одинаковый угол наклона, но они не должны совпадать. Одинаковый угол наклона достигается при равенстве их угловых коэффициентов. Чтобы прямые не совпадали, они должны проходить через разные точки на оси Оу, то есть их свободные члены должны быть различны.

Условие параллельности: $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$.

Важно отметить, что если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то уравнения описывают одну и ту же прямую. В этом случае говорят, что графики совпадают и имеют бесконечно много общих точек.

Ответ: Графики двух линейных функций являются параллельными прямыми, если их угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены не равны ($b_1 \neq b_2$).

4 Дайте определение линейной функции.

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые действительные числа (коэффициенты).

Рассмотрим компоненты этой формулы более подробно:

• $x$ — это аргумент, то есть независимая переменная, значения которой мы можем выбирать произвольно из области определения.
• $y$ — это значение функции, то есть зависимая переменная, значение которой вычисляется на основе выбранного значения $x$.
• $k$ — это угловой коэффициент. Он определяет наклон графика функции.
  • Если $k > 0$, то функция является возрастающей (при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается).
  • Если $k < 0$, то функция является убывающей (при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается).
  • Если $k = 0$, то формула принимает вид $y = b$, и функция является постоянной. Ее график — прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$).
• $b$ — это свободный член. Он показывает точку, в которой график функции пересекает ось ординат (ось $Oy$). Координаты этой точки — $(0; b)$.

Графиком любой линейной функции является прямая линия. Областью определения линейной функции (множеством всех допустимых значений $x$) является множество всех действительных чисел.

Частным случаем линейной функции при $b = 0$ является прямая пропорциональность, которая задается формулой $y = kx$. График такой функции всегда проходит через начало координат $(0; 0)$.

Ответ: Линейной функцией называется функция вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, $k$ и $b$ — некоторые числа.

7. В каких координатных четвертях расположен график функции:

$y = 6x$

$y = 0.5x + 4$

$y = 3x - 1$

$y = -3$

Для определения координатных четвертей, в которых расположен график функции, проанализируем каждую функцию вида $y = kx + b$ по отдельности.

y = 6x

Это линейная функция, представляющая собой прямую пропорциональность. Общий вид такой функции $y = kx$.
1. Угловой коэффициент (slope) $k = 6$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.
2. Свободный член (y-intercept) $b = 0$. Это означает, что график функции проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.
3. Когда $x > 0$, то и $y = 6x > 0$. Точки с положительными координатами $(x, y)$ находятся в I четверти.
4. Когда $x < 0$, то и $y = 6x < 0$. Точки с отрицательными координатами $(x, y)$ находятся в III четверти.
Таким образом, график проходит через I и III координатные четверти.
Ответ: I и III четверти.

y = 0,5x + 4

Это линейная функция вида $y = kx + b$.
1. Угловой коэффициент $k = 0,5$. Так как $k > 0$, функция возрастающая.
2. Свободный член $b = 4$. График пересекает ось ординат (OY) в точке $(0, 4)$. Эта точка находится на положительной полуоси OY.
3. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX), для этого приравняем $y$ к нулю:
$0 = 0,5x + 4$
$0,5x = -4$
$x = -8$
График пересекает ось OX в точке $(-8, 0)$. Эта точка находится на отрицательной полуоси OX.
4. Прямая, проходящая через точки $(-8, 0)$ и $(0, 4)$, расположена в I, II и III четвертях.
- В I четверти находятся точки, для которых $x > 0$ (и, соответственно, $y > 4$).
- Во II четверти находятся точки, для которых $-8 < x < 0$ (и, соответственно, $0 < y < 4$).
- В III четверти находятся точки, для которых $x < -8$ (и, соответственно, $y < 0$).
Ответ: I, II и III четверти.

y = 3x - 1

Это линейная функция вида $y = kx + b$.
1. Угловой коэффициент $k = 3$. Так как $k > 0$, функция возрастающая.
2. Свободный член $b = -1$. График пересекает ось OY в точке $(0, -1)$. Эта точка находится на отрицательной полуоси OY.
3. Найдем точку пересечения с осью OX, приравняв $y$ к нулю:
$0 = 3x - 1$
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$
График пересекает ось OX в точке $(\frac{1}{3}, 0)$. Эта точка находится на положительной полуоси OX.
4. Прямая, проходящая через точки $(\frac{1}{3}, 0)$ и $(0, -1)$, расположена в I, III и IV четвертях.
- В I четверти находятся точки, для которых $x > \frac{1}{3}$ (и, соответственно, $y > 0$).
- В IV четверти находятся точки, для которых $0 < x < \frac{1}{3}$ (и, соответственно, $-1 < y < 0$).
- В III четверти находятся точки, для которых $x < 0$ (и, соответственно, $y < -1$).
Ответ: I, III и IV четверти.

y = -3

Это постоянная функция, ее график — прямая, параллельная оси OX.
1. Для любого значения $x$, значение $y$ всегда равно -3.
2. Так как ордината всех точек графика отрицательна ($y = -3 < 0$), график целиком лежит ниже оси OX.
3. Когда $x > 0$, точки $(x, -3)$ находятся в IV четверти.
4. Когда $x < 0$, точки $(x, -3)$ находятся в III четверти.
Таким образом, график функции расположен в III и IV координатных четвертях.
Ответ: III и IV четверти.