Страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

322. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

а) $y = -2,4x + 9,6;$

б) $y = -0,7x - 28;$

в) $y = 1,2x + 6;$

г) $y = -5x + 2.$

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осями координат, необходимо поочередно приравнять к нулю каждую из координат ($x$ и $y$).

а) $y = -2,4x + 9,6$

1. Найдём точку пересечения с осью ординат (Oy). Для этого принимаем $x = 0$:
$y = -2,4 \cdot 0 + 9,6 = 9,6$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0; 9,6)$.

2. Найдём точку пересечения с осью абсцисс (Ox). Для этого принимаем $y = 0$:
$0 = -2,4x + 9,6$
$2,4x = 9,6$
$x = \frac{9,6}{2,4} = 4$
Координаты точки пересечения с осью Ox: $(4; 0)$.

Ответ: $(0; 9,6)$ и $(4; 0)$.

б) $y = -0,7x - 28$

1. Найдём точку пересечения с осью Oy ($x = 0$):
$y = -0,7 \cdot 0 - 28 = -28$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0; -28)$.

2. Найдём точку пересечения с осью Ox ($y = 0$):
$0 = -0,7x - 28$
$0,7x = -28$
$x = \frac{-28}{0,7} = \frac{-280}{7} = -40$
Координаты точки пересечения с осью Ox: $(-40; 0)$.

Ответ: $(0; -28)$ и $(-40; 0)$.

в) $y = 1,2x + 6$

1. Найдём точку пересечения с осью Oy ($x = 0$):
$y = 1,2 \cdot 0 + 6 = 6$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0; 6)$.

2. Найдём точку пересечения с осью Ox ($y = 0$):
$0 = 1,2x + 6$
$1,2x = -6$
$x = \frac{-6}{1,2} = \frac{-60}{12} = -5$
Координаты точки пересечения с осью Ox: $(-5; 0)$.

Ответ: $(0; 6)$ и $(-5; 0)$.

г) $y = -5x + 2$

1. Найдём точку пересечения с осью Oy ($x = 0$):
$y = -5 \cdot 0 + 2 = 2$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0; 2)$.

2. Найдём точку пересечения с осью Ox ($y = 0$):
$0 = -5x + 2$
$5x = 2$
$x = \frac{2}{5} = 0,4$
Координаты точки пересечения с осью Ox: $(0,4; 0)$.

Ответ: $(0; 2)$ и $(0,4; 0)$.

325. В одной и той же координатной плоскости постройте графики функций $y = 6$, $y = 3.2$, $y = -1$, $y = -5$, $y = 0$.

В задании требуется построить в одной координатной плоскости графики функций, которые заданы уравнениями вида $y = c$, где $c$ — это постоянная величина (константа).

Графиком любой функции вида $y = c$ является прямая линия, которая параллельна оси абсцисс ($Ox$) и пересекает ось ординат ($Oy$) в точке с координатами $(0, c)$. Для построения такого графика достаточно отметить на оси $Oy$ точку, соответствующую значению $c$, и провести через неё прямую, параллельную оси $Ox$.

y = 6

Для этой функции значение $y$ всегда равно 6, независимо от значения $x$. Графиком является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 6)$ на оси $Oy$.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 6)$.

y = 3,2

Для этой функции значение $y$ постоянно и равно 3,2. Графиком является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; 3,2)$ на оси $Oy$. Эта линия будет расположена между отметками 3 и 4 на оси ординат.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; 3,2)$.

y = -1

Здесь для любого $x$ значение $y$ равно -1. График — это прямая, параллельная оси $Ox$, но расположенная ниже неё и проходящая через точку $(0, -1)$ на оси $Oy$.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -1)$.

y = -5

Значение $y$ постоянно и равно -5. График — это прямая, параллельная оси $Ox$, проходящая через точку $(0, -5)$ на оси $Oy$.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -5)$.

y = 0

В этом случае для любого $x$ значение $y$ равно 0. Множество всех точек с ординатой, равной нулю, образует ось абсцисс. Таким образом, график функции $y = 0$ полностью совпадает с осью $Ox$.

Ответ: Прямая, совпадающая с осью абсцисс ($Ox$).

Таким образом, при построении всех графиков в одной системе координат мы получим пять горизонтальных прямых, расположенных на разных "уровнях" относительно оси $Ox$. Прямая $y=6$ будет самой верхней, под ней расположится $y=3,2$, затем прямая $y=0$ (которая является осью $Ox$), ниже нее — $y=-1$, и самой нижней будет прямая $y=-5$.

328. На рисунке 39 изображён график одной из линейных функций. Укажите эту функцию.

1. $y = -2x + 6$

2. $y = x + 7$

3. $y = x - 7$

4. $y = -x + 7$

Рис. 39

Чтобы определить, какая из предложенных функций соответствует графику, можно выбрать на графике точку с известными координатами и подставить её в каждое из уравнений. Если в результате получится верное равенство, то это уравнение и описывает данный график.

Выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, точку А с координатами (3, 4). Теперь последовательно проверим каждый из предложенных вариантов.

1. $y = -2x + 6$
Подставим в уравнение координаты точки А(3, 4), где $x=3$ и $y=4$:
$4 = -2 \cdot 3 + 6$
$4 = -6 + 6$
$4 = 0$
Равенство неверное. Следовательно, эта функция не подходит.

2. $y = x + 7$
Подставим в уравнение координаты точки А(3, 4):
$4 = 3 + 7$
$4 = 10$
Равенство неверное. Эта функция также не подходит.

3. $y = x - 7$
Подставим в уравнение координаты точки А(3, 4):
$4 = 3 - 7$
$4 = -4$
Равенство неверное. И эта функция не подходит.

4. $y = -x + 7$
Подставим в уравнение координаты точки А(3, 4):
$4 = -3 + 7$
$4 = 4$
Равенство верное. Этот вариант является вероятным ответом.

Для полной уверенности сделаем проверку с другой точкой с графика, например, с точкой B(5, 2). Подставим её координаты в уравнение $y = -x + 7$:
$2 = -5 + 7$
$2 = 2$
Равенство также верное. Это подтверждает, что график соответствует функции $y = -x + 7$.

Ответ: 4.

320. (Задача-исследование.) Дана линейная функция $y = kx + 4$.

При каком значении $k$ график этой функции:

а) параллелен графику прямой пропорциональности $y = -x$;

б) не пересекает ось абсцисс;

в) пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой 3;

г) проходит через точку пересечения графиков функций $y = 12 - x$ и $y = x + 4$?

Обсудите ответы на поставленные вопросы.

а) Графики двух линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — нет. Угловой коэффициент для функции $y = kx + 4$ равен $k$. Угловой коэффициент для функции прямой пропорциональности $y = -x$ (или $y = -1 \cdot x + 0$) равен $-1$. Чтобы графики были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны: $k = -1$. Свободные члены ($4$ и $0$) при этом не равны, так что графики не совпадут.
Ответ: $k = -1$.

б) График линейной функции не пересекает ось абсцисс (ось $Ox$), если он является горизонтальной прямой, не совпадающей с самой осью $Ox$. Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — константа, не равная нулю. Это соответствует линейной функции с угловым коэффициентом, равным нулю. В нашем случае $y = kx + 4$. При $k = 0$ функция принимает вид $y = 4$. График этой функции — прямая, параллельная оси абсцисс, которая не пересекает её.
Ответ: $k = 0$.

в) Если график функции пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой 3, это означает, что график проходит через точку с координатами $(3, 0)$. Подставим эти значения ($x=3, y=0$) в уравнение функции $y = kx + 4$:
$0 = k \cdot 3 + 4$
Теперь решим это уравнение относительно $k$:
$3k = -4$
$k = -\frac{4}{3}$
Ответ: $k = -\frac{4}{3}$.

г) Сначала найдем точку пересечения графиков функций $y = 12 - x$ и $y = x + 4$. В точке пересечения их значения $y$ равны, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:
$12 - x = x + 4$
Решим это уравнение, чтобы найти абсциссу точки пересечения:
$12 - 4 = x + x$
$8 = 2x$
$x = 4$
Теперь найдем ординату, подставив $x=4$ в любое из двух уравнений:
$y = 4 + 4 = 8$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(4, 8)$.
По условию, график функции $y = kx + 4$ должен проходить через эту точку. Подставим координаты $(4, 8)$ в уравнение:
$8 = k \cdot 4 + 4$
Решим полученное уравнение относительно $k$:
$8 - 4 = 4k$
$4 = 4k$
$k = 1$
Ответ: $k = 1$.

323. В какой точке пересекает ось x график функции, заданной формулой:

a) $y = 0.4x - 12;$

б) $y = -\frac{1}{3}x + 8?$

Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью $x$ (осью абсцисс), необходимо приравнять значение функции ($y$) к нулю. Координаты точки пересечения будут $(x; 0)$, где $x$ — это корень полученного уравнения.

а) $y = 0,4x - 12$

Приравниваем $y$ к нулю, чтобы найти абсциссу точки пересечения:
$0 = 0,4x - 12$
Перенесем $-12$ в левую часть уравнения, изменив знак:
$12 = 0,4x$
Теперь найдем $x$, разделив обе части на $0,4$:
$x = \frac{12}{0,4}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{120}{4}$
$x = 30$
Таким образом, график функции пересекает ось $x$ в точке с координатами (30; 0).
Ответ: (30; 0).

б) $y = -\frac{1}{3}x + 8$

Приравниваем $y$ к нулю:
$0 = -\frac{1}{3}x + 8$
Перенесем член $-\frac{1}{3}x$ в левую часть уравнения, изменив знак:
$\frac{1}{3}x = 8$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:
$x = 8 \cdot 3$
$x = 24$
Таким образом, график функции пересекает ось $x$ в точке с координатами (24; 0).
Ответ: (24; 0).

326. Постройте графики функций $y = -2$, $y = -1.9$, $y = 1.6$, $y = 7$.

Все представленные функции имеют вид $y = c$, где $c$ является константой. Это означает, что для любого значения переменной $x$ значение функции $y$ остается неизменным и равным $c$. Графиком любой такой функции является прямая линия, которая параллельна оси абсцисс (оси Ox) и пересекает ось ординат (ось Oy) в точке с координатой $(0, c)$.

y = -2

Это постоянная функция. Для любого значения $x$ значение $y$ всегда равно -2. Графиком этой функции является горизонтальная прямая линия, которая параллельна оси Ox. Чтобы построить эту прямую, нужно на оси ординат (Oy) найти точку со значением -2 и провести через нее прямую, параллельную оси абсцисс (Ox). Все точки этой прямой имеют ординату, равную -2 (например, $(-3, -2)$, $(0, -2)$, $(5, -2)$).

Ответ: График функции $y = -2$ — это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, -2)$ на оси Oy.

y = -1.9

Это также постоянная функция. Значение $y$ всегда равно -1.9. График этой функции — прямая, параллельная оси Ox. Она проходит через точку $(0, -1.9)$ на оси Oy. Эта линия будет расположена очень близко к прямой $y = -2$, но немного выше нее.

Ответ: График функции $y = -1.9$ — это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, -1.9)$ на оси Oy.

y = 1.6

Это постоянная функция, где значение $y$ всегда равно 1.6. Графиком является прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 1.6)$ на оси Oy. Эта линия находится в верхней полуплоскости, выше оси Ox.

Ответ: График функции $y = 1.6$ — это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 1.6)$ на оси Oy.

y = 7

Это постоянная функция, где значение $y$ всегда равно 7. Графиком является прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 7)$ на оси Oy. Эта линия расположена выше всех предыдущих графиков.

Ответ: График функции $y = 7$ — это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 7)$ на оси Oy.

Таким образом, все четыре графика представляют собой набор из четырех горизонтальных прямых, которые параллельны друг другу и оси Ox. Каждая прямая пересекает ось Oy в точке, ордината которой равна константе из соответствующего уравнения.

321. Постройте график функции $y = -10x + 40$, выбрав масштаб:

по оси $x$ — в 1 см одна единица, по оси $y$ — в 1 см 10 единиц.

Найдите по графику:

a) значение $y$, соответствующее $x = -2,5; 0,8; 3,5;$

б) значение $x$, которому соответствует $y = 70; -10; -30.$

Для построения графика функции $y = -10x + 40$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Так как функция $y = -10x + 40$ является линейной, ее график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих этой прямой.
2. Найдем точку пересечения графика с осью ординат (осью $y$). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции:
   $y = -10 \cdot 0 + 40 = 40$.
   Таким образом, первая точка имеет координаты $(0; 40)$.
3. Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс (осью $x$). Для этого подставим $y = 0$ в уравнение функции:
   $0 = -10x + 40$
   $10x = 40$
   $x = 4$.
   Таким образом, вторая точка имеет координаты $(4; 0)$.
4. Начертим систему координат $xOy$. Согласно условию, выберем масштаб: по оси $x$ — 1 см соответствует 1 единице, а по оси $y$ — 1 см соответствует 10 единицам.
5. Отметим на координатной плоскости точки $(0; 40)$ и $(4; 0)$ и проведем через них прямую. Эта прямая является графиком функции $y = -10x + 40$.

Далее, используя построенный график, найдем требуемые значения. Для точности будем проверять найденные по графику значения аналитически (с помощью вычислений).

а) значение $y$, соответствующее $x = -2,5; 0,8; 3,5$

Чтобы найти значение $y$ по графику для заданного $x$, необходимо найти на оси $x$ соответствующую точку, восстановить из нее перпендикуляр до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения провести перпендикуляр к оси $y$.
- При $x = -2,5$: находим на оси $x$ точку $-2,5$. Двигаясь вертикально вверх до графика, а затем горизонтально до оси $y$, находим значение $y = 65$.
Проверка расчетом: $y = -10(-2,5) + 40 = 25 + 40 = 65$.
- При $x = 0,8$: аналогично, для $x=0,8$ по графику находим $y = 32$.
Проверка расчетом: $y = -10(0,8) + 40 = -8 + 40 = 32$.
- При $x = 3,5$: для $x=3,5$ по графику находим $y = 5$.
Проверка расчетом: $y = -10(3,5) + 40 = -35 + 40 = 5$.

Ответ: при $x = -2,5$ $y = 65$; при $x = 0,8$ $y = 32$; при $x = 3,5$ $y = 5$.

б) значение $x$, которому соответствует $y = 70; -10; -30$

Чтобы найти значение $x$ по графику для заданного $y$, необходимо найти на оси $y$ соответствующую точку, провести из нее перпендикуляр до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения опустить перпендикуляр на ось $x$.
- При $y = 70$: находим на оси $y$ точку $70$. Двигаясь горизонтально влево до графика, а затем вертикально вниз до оси $x$, находим значение $x = -3$.
Проверка расчетом: $70 = -10x + 40 \implies 10x = 40 - 70 \implies 10x = -30 \implies x = -3$.
- При $y = -10$: аналогично, для $y = -10$ по графику находим $x = 5$.
Проверка расчетом: $-10 = -10x + 40 \implies 10x = 40 + 10 \implies 10x = 50 \implies x = 5$.
- При $y = -30$: для $y = -30$ по графику находим $x = 7$.
Проверка расчетом: $-30 = -10x + 40 \implies 10x = 40 + 30 \implies 10x = 70 \implies x = 7$.

Ответ: при $y = 70$ $x = -3$; при $y = -10$ $x = 5$; при $y = -30$ $x = 7$.

324. Не выполняя построения графика функции $y = 1.2x - 7$, выясните, проходит ли этот график через точку:

a) A (100; 113);
б) B (-15; -25);
в) C (-10; 5);
г) D (300; 353).

Чтобы определить, проходит ли график функции через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки ($x$; $y$) в уравнение функции. Если в результате подстановки получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Уравнение функции: $y = 1,2x - 7$.

а) Проверим точку $A(100; 113)$.
В данном случае $x = 100$, $y = 113$. Подставим эти значения в уравнение функции:
$113 = 1,2 \cdot 100 - 7$
$113 = 120 - 7$
$113 = 113$
Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку $A$.
Ответ: проходит.

б) Проверим точку $B(-15; -25)$.
Здесь $x = -15$, $y = -25$. Подставим эти значения в уравнение:
$-25 = 1,2 \cdot (-15) - 7$
$-25 = -18 - 7$
$-25 = -25$
Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку $B$.
Ответ: проходит.

в) Проверим точку $C(-10; 5)$.
Здесь $x = -10$, $y = 5$. Подставим эти значения в уравнение:
$5 = 1,2 \cdot (-10) - 7$
$5 = -12 - 7$
$5 = -19$
Равенство неверное, следовательно, график функции не проходит через точку $C$.
Ответ: не проходит.

г) Проверим точку $D(300; 353)$.
Здесь $x = 300$, $y = 353$. Подставим эти значения в уравнение:
$353 = 1,2 \cdot 300 - 7$
$353 = 360 - 7$
$353 = 353$
Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку $D$.
Ответ: проходит.

327. Найдите координаты точки пересечения графиков функции:

а) $y = 10x - 8$ и $y = -3x + 5$;

б) $y = 14 - 2.5x$ и $y = 1.5x - 18$;

в) $y = 14x$ и $y = x + 26$;

г) $y = -5x + 16$ и $y = -6$.

а) Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций $y = 10x - 8$ и $y = -3x + 5$, необходимо найти значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям. В точке пересечения значения $y$ равны, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:
$10x - 8 = -3x + 5$
Теперь решим это линейное уравнение. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$10x + 3x = 5 + 8$
$13x = 13$
$x = \frac{13}{13} = 1$
Теперь найдем координату $y$, подставив значение $x = 1$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся первым:
$y = 10 \cdot 1 - 8 = 10 - 8 = 2$
Таким образом, графики функций пересекаются в точке с координатами $(1; 2)$.
Ответ: $(1; 2)$

б) Найдем точку пересечения для графиков функций $y = 14 - 2,5x$ и $y = 1,5x - 18$. Приравняем правые части уравнений:
$14 - 2,5x = 1,5x - 18$
Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$14 + 18 = 1,5x + 2,5x$
$32 = 4x$
$x = \frac{32}{4} = 8$
Теперь найдем $y$, подставив $x = 8$ во второе уравнение:
$y = 1,5 \cdot 8 - 18 = 12 - 18 = -6$
Координаты точки пересечения — $(8; -6)$.
Ответ: $(8; -6)$

в) Найдем точку пересечения для графиков функций $y = 14x$ и $y = x + 26$. Приравняем выражения для $y$:
$14x = x + 26$
Решим уравнение относительно $x$:
$14x - x = 26$
$13x = 26$
$x = \frac{26}{13} = 2$
Подставим $x = 2$ в первое уравнение для нахождения $y$:
$y = 14 \cdot 2 = 28$
Координаты точки пересечения — $(2; 28)$.
Ответ: $(2; 28)$

г) Найдем точку пересечения для графиков функций $y = -5x + 16$ и $y = -6$. В этом случае координата $y$ точки пересечения уже известна: $y = -6$. Подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти координату $x$:
$-6 = -5x + 16$
Решим полученное уравнение:
$5x = 16 + 6$
$5x = 22$
$x = \frac{22}{5} = 4,4$
Координаты точки пересечения — $(4,4; -6)$.
Ответ: $(4,4; -6)$