Страница 74 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

310. Решите уравнение:

а) $1 - 1.7x - (0.8x + 2) = 3.4;$

б) $5 - 0.2y = 0.3y - 39.$

а) Решим уравнение $1 - 1,7x - (0,8x + 2) = 3,4$.

1. Раскроем скобки. Поскольку перед скобками стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$1 - 1,7x - 0,8x - 2 = 3,4$

2. Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и свободные члены:

$(-1,7x - 0,8x) + (1 - 2) = 3,4$

$-2,5x - 1 = 3,4$

3. Перенесём свободный член (-1) из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$-2,5x = 3,4 + 1$

$-2,5x = 4,4$

4. Найдём $x$, разделив обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -2,5:

$x = \frac{4,4}{-2,5}$

Чтобы избавиться от дробей в делителе и делимом, умножим их на 10:

$x = -\frac{44}{25}$

Переведём обыкновенную дробь в десятичную:

$x = -1,76$

Ответ: -1,76.

б) Решим уравнение $5 - 0,2y = 0,3y - 39$.

1. Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Для этого перенесём $-0,2y$ в правую часть, а $-39$ — в левую, изменив их знаки:

$5 + 39 = 0,3y + 0,2y$

2. Упростим обе части уравнения:

$44 = 0,5y$

3. Найдём $y$, разделив обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на 0,5:

$y = \frac{44}{0,5}$

Деление на 0,5 равносильно умножению на 2:

$y = 44 \cdot 2$

$y = 88$

Ответ: 88.

308. На рисунке 27 построены графики движения пешехода (отрезок $OB$) и велосипедиста (отрезок $OA$). С помощью графиков ответьте на вопросы:

Рис. 27

а) какое время был в пути пешеход и какое время — велосипедист;

б) какой путь проделал пешеход и какой путь проехал велосипедист;

в) с какой скоростью двигался пешеход и с какой — велосипедист;

г) во сколько раз путь, который проехал за 2 ч велосипедист, больше пути, пройденного за то же время пешеходом?

а) какое время был в пути пешеход и какое время — велосипедист;
На графике ось абсцисс (горизонтальная) показывает время $t$ в часах (ч), а ось ординат (вертикальная) — расстояние $s$ в километрах (км).
График движения пешехода — это отрезок OB. Движение начинается в точке O (время $t=0$) и заканчивается в точке B. Чтобы найти общее время движения пешехода, найдём координату времени для точки B. Из точки B опускаем перпендикуляр на ось времени и получаем значение $t = 4$ ч.
График движения велосипедиста — это отрезок OA. Движение начинается в точке O (время $t=0$) и заканчивается в точке A. Чтобы найти общее время движения велосипедиста, найдём координату времени для точки A. Из точки A опускаем перпендикуляр на ось времени и получаем значение $t = 2$ ч.
Ответ: пешеход был в пути 4 часа, а велосипедист — 2 часа.

б) какой путь проделал пешеход и какой путь проехал велосипедист;
Чтобы найти путь, который проделал пешеход за всё время своего движения, найдём координату расстояния для конечной точки его графика, точки B. Из точки B опускаем перпендикуляр на ось расстояния и получаем значение $s = 20$ км.
Чтобы найти путь, который проехал велосипедист за всё время своего движения, найдём координату расстояния для конечной точки его графика, точки A. Из точки A опускаем перпендикуляр на ось расстояния и получаем значение $s = 30$ км.
Ответ: пешеход проделал путь 20 км, а велосипедист проехал 30 км.

в) с какой скоростью двигался пешеход и с какой — велосипедист;
Скорость равномерного движения вычисляется по формуле $v = s/t$, где $s$ — путь, а $t$ — время.
Для пешехода: $s_п = 20$ км, $t_п = 4$ ч.
Скорость пешехода: $v_п = s_п / t_п = 20 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 5 \text{ км/ч}$.
Для велосипедиста: $s_в = 30$ км, $t_в = 2$ ч.
Скорость велосипедиста: $v_в = s_в / t_в = 30 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 15 \text{ км/ч}$.
Ответ: скорость пешехода — 5 км/ч, скорость велосипедиста — 15 км/ч.

г) во сколько раз путь, который проехал за 2 ч велосипедист, больше пути, пройденного за то же время пешеходом?
Сначала определим по графикам путь каждого за 2 часа.
Путь велосипедиста за 2 часа: на оси времени находим отметку 2 ч и поднимаемся до пересечения с графиком велосипедиста (отрезок OA). Это точка A. Координата расстояния для этой точки равна 30 км. Итак, $s_{велосипедиста, 2ч} = 30$ км.
Путь пешехода за 2 часа: на оси времени находим отметку 2 ч и поднимаемся до пересечения с графиком пешехода (отрезок OB). Из точки пересечения проводим перпендикуляр к оси расстояния и получаем значение 10 км. Итак, $s_{пешехода, 2ч} = 10$ км.
Теперь найдём, во сколько раз путь велосипедиста больше пути пешехода, разделив один путь на другой:
$s_{велосипедиста, 2ч} / s_{пешехода, 2ч} = 30 \text{ км} / 10 \text{ км} = 3$.
Ответ: в 3 раза.

311. Упростите выражение:

а) $-21(4 - 10a) - 54a$;

б) $28 - 10d + 4(d + 18)$.

а) Чтобы упростить выражение $-21(4 - 10a) - 54a$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Раскрыть скобки. Для этого умножим множитель перед скобками ($-21$) на каждый член внутри скобок, используя распределительное свойство умножения $a(b+c) = ab + ac$.

$-21 \cdot 4 = -84$

$-21 \cdot (-10a) = 210a$

2. Подставим полученные значения обратно в выражение:

$-21(4 - 10a) - 54a = -84 + 210a - 54a$

3. Привести подобные слагаемые. Подобными слагаемыми здесь являются $210a$ и $-54a$.

$210a - 54a = (210 - 54)a = 156a$

4. Запишем итоговое выражение:

$156a - 84$

Ответ: $156a - 84$

б) Чтобы упростить выражение $28 - 10d + 4(d + 18)$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Раскрыть скобки, умножив множитель $4$ на каждый член внутри скобок:

$4 \cdot d = 4d$

$4 \cdot 18 = 72$

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$28 - 10d + 4d + 72$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Сначала сгруппируем константы (числа) и члены с переменной $d$.

$(28 + 72) + (-10d + 4d)$

4. Выполним сложение в каждой группе:

Сложение констант: $28 + 72 = 100$

Сложение членов с переменной $d$: $-10d + 4d = (-10 + 4)d = -6d$

5. Запишем итоговое выражение:

$100 - 6d$

Ответ: $100 - 6d$

309. На рисунке 28 изображён график зависимости удлинения $y$ стальной проволоки от силы $F$, под действием которой проволока растягивается. Укажите границы изменения силы $F$, при которых зависимость удлинения проволоки от силы $F$ является прямой пропорциональностью.

Рис. 28

Прямая пропорциональность — это зависимость между двумя величинами ($y$ и $F$), которая может быть выражена формулой $y = kF$, где $k$ является постоянным коэффициентом. Графиком такой зависимости всегда является прямая линия, проходящая через начало координат (точку $(0,0)$).

На представленном графике изображена зависимость удлинения проволоки $y$ от приложенной силы $F$. Необходимо найти участок, где эта зависимость является прямой пропорциональностью.

Анализируя график, можно заметить, что от начала координат ($F=0 \text{ Н}$) и до значения силы $F=1000 \text{ Н}$ график представляет собой прямую линию. Это означает, что на данном интервале удлинение прямо пропорционально силе. Такое поведение тела при растяжении описывается законом Гука и соответствует упругой деформации.

При силе, большей чем $1000 \text{ Н}$, график становится горизонтальной линией. Это говорит о том, что удлинение перестает увеличиваться с ростом силы, и, следовательно, прямая пропорциональность нарушается (материал достиг предела упругости).

Таким образом, зависимость удлинения проволоки от силы $F$ является прямой пропорциональностью, когда сила изменяется в границах от 0 Н до 1000 Н включительно.

Ответ: $0 \text{ Н} \le F \le 1000 \text{ Н}$.

312. Известно, что $a > 0$. Сравните с нулём значение выражения:

а) $5a$;

б) $-10a$;

в) $a + 6$;

г) $-a$;

д) $\frac{a}{8}$;

е) $-\frac{4}{a}$.

а) По условию задачи дано, что $a > 0$, то есть $a$ — положительное число. Число 5 также является положительным. Произведение двух положительных чисел всегда положительно. Таким образом, $5 \cdot a > 0$.
Ответ: $5a > 0$.

б) По условию $a > 0$. Число -10 является отрицательным. Произведение отрицательного числа (-10) и положительного числа ($a$) всегда отрицательно. Таким образом, $-10 \cdot a < 0$.
Ответ: $-10a < 0$.

в) По условию $a$ — положительное число ($a > 0$). Число 6 также положительно. Сумма двух положительных чисел всегда положительна. Можно также рассуждать иначе: так как $a > 0$, то прибавление к нему положительного числа 6 даст результат, который будет больше 6, а значит, и больше 0. $a + 6 > 0 + 6 \implies a + 6 > 6$. Так как $6 > 0$, то и $a+6 > 0$.
Ответ: $a + 6 > 0$.

г) По условию $a > 0$. Выражение $-a$ равносильно умножению $a$ на -1. Если положительное число умножить на отрицательное, результат будет отрицательным. Можно умножить обе части неравенства $a > 0$ на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $a \cdot (-1) < 0 \cdot (-1) \implies -a < 0$.
Ответ: $-a < 0$.

д) По условию $a$ — положительное число ($a > 0$). Число 8 также положительно. Частное от деления положительного числа на положительное всегда положительно. Таким образом, $\frac{a}{8} > 0$.
Ответ: $\frac{a}{8} > 0$.

е) По условию $a$ — положительное число ($a > 0$). В дроби $-\frac{4}{a}$ числитель (-4) — отрицательное число, а знаменатель ($a$) — положительное. Частное от деления отрицательного числа на положительное всегда отрицательно. Таким образом, $-\frac{4}{a} < 0$.
Ответ: $-\frac{4}{a} < 0$.