Страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

313. Каждую секунду в бассейн поступает 0,5 м³ воды. Сколько кубометров воды станет в бассейне через x с, если сейчас в нём 120 м³ воды? Задайте формулой зависимость объёма воды в бассейне от времени его наполнения. Является ли эта зависимость линейной функцией?

Для решения задачи разобьем ее на три части, соответствующие вопросам в условии.

Сколько кубометров воды станет в бассейне через x с, если сейчас в нём 120 м³ воды?

Начальный объём воды в бассейне составляет $120$ м³.
Скорость поступления воды составляет $0,5$ м³ в секунду.
За время $x$ секунд в бассейн дополнительно поступит объём воды, равный произведению скорости на время:
$0,5 \text{ м³/с} \times x \text{ с} = 0,5x \text{ м³}$.
Чтобы найти общий объём воды в бассейне через $x$ секунд, нужно сложить начальный объём и объём поступившей воды:
Общий объём = Начальный объём + Поступивший объём
$V = 120 + 0,5x$.

Ответ: Через $x$ секунд в бассейне станет $120 + 0,5x$ м³ воды.

Задайте формулой зависимость объёма воды в бассейне от времени его наполнения.

Обозначим объём воды в бассейне (в м³) через $V$, а время наполнения (в секундах) через $x$. Как мы выяснили в предыдущем пункте, объём воды в любой момент времени $x$ вычисляется как сумма начального объёма и объёма, добавленного за это время.
Таким образом, зависимость объёма $V$ от времени $x$ выражается следующей формулой:
$V(x) = 0,5x + 120$.

Ответ: Зависимость объёма воды $V$ в бассейне от времени его наполнения $x$ задаётся формулой $V(x) = 0,5x + 120$.

Является ли эта зависимость линейной функцией?

Линейная функция имеет общий вид $y = kx + b$, где:

• $y$ – зависимая переменная;
• $x$ – независимая переменная;
• $k$ – угловой коэффициент (константа);
• $b$ – свободный член (константа).

Сравним нашу формулу $V(x) = 0,5x + 120$ с общим видом линейной функции.

• В качестве зависимой переменной $y$ выступает объём $V(x)$.
• В качестве независимой переменной $x$ выступает время $x$.
• Угловой коэффициент $k = 0,5$. Он показывает скорость изменения объёма.
• Свободный член $b = 120$. Он показывает начальное значение объёма при $x=0$.

Поскольку наша формула полностью соответствует виду $y = kx + b$, данная зависимость является линейной.

Ответ: Да, эта зависимость является линейной функцией.

316. Является ли линейной функцией, заданная формулой:

а) $y = 2x - 3;$

б) $y = 7 - 9x;$

в) $y = \frac{x}{2} + 1;$

г) $y = \frac{2}{x} + 1;$

д) $y = x^2 - 3;$

е) $y = \frac{10x - 7}{5}?$

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Проверим каждую из предложенных функций на соответствие этому определению.

а) $y = 2x - 3$

Эта формула полностью соответствует виду $y = kx + b$, где коэффициент $k = 2$ и свободный член $b = -3$. Следовательно, данная функция является линейной.

Ответ: да, является.

б) $y = 7 - 9x$

Эту формулу можно переписать, поменяв слагаемые местами: $y = -9x + 7$. Она соответствует общему виду линейной функции $y = kx + b$, где $k = -9$ и $b = 7$. Следовательно, данная функция является линейной.

Ответ: да, является.

в) $y = \frac{x}{2} + 1$

Эту формулу можно представить в виде $y = \frac{1}{2}x + 1$. Она соответствует общему виду линейной функции $y = kx + b$, где $k = \frac{1}{2}$ и $b = 1$. Следовательно, данная функция является линейной.

Ответ: да, является.

г) $y = \frac{2}{x} + 1$

В данной формуле переменная $x$ находится в знаменателе дроби. Это означает, что зависимость $y$ от $x$ не является прямой пропорциональностью, умноженной на коэффициент. Функцию можно записать как $y = 2x^{-1} + 1$. В линейной функции переменная $x$ должна быть в первой степени. Данная функция называется обратной пропорциональностью и не является линейной.

Ответ: нет, не является.

д) $y = x^2 - 3$

В этой формуле переменная $x$ возведена во вторую степень ($x^2$). Для линейной функции переменная $x$ должна быть в первой степени. Эта функция является квадратичной, а не линейной.

Ответ: нет, не является.

е) $y = \frac{10x - 7}{5}$

Преобразуем данную формулу, разделив числитель на знаменатель почленно: $y = \frac{10x}{5} - \frac{7}{5}$, что можно упростить до $y = 2x - \frac{7}{5}$. Эта формула соответствует виду $y = kx + b$, где $k = 2$ и $b = -\frac{7}{5}$ (или $b = -1.4$). Следовательно, данная функция является линейной.

Ответ: да, является.

319. Постройте график функции, заданной формулой:

а) $y = -2x + 1$;

б) $y = 0.2x + 5$;

в) $y = -x + 4.5$;

г) $y = x + 1.5$;

д) $y = \frac{1}{2}x - 3$;

е) $y = -x - 3.5$;

ж) $y = -3x + 4$;

з) $y = -x + 3$;

и) $y = x - 2$.

а) $y = -2x + 1$

Данная функция является линейной, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек, через которые она проходит.

1. Возьмем $x = 0$. Тогда $y = -2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.
2. Возьмем $x = 1$. Тогда $y = -2 \cdot 1 + 1 = -1$. Получаем точку $(1; -1)$.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки $(0; 1)$ и $(1; -1)$ и провести через них прямую.

б) $y = 0,2x + 5$

Это линейная функция, графиком которой является прямая. Найдем две точки для ее построения.

1. При $x = 0$, $y = 0,2 \cdot 0 + 5 = 5$. Первая точка — $(0; 5)$.
2. Для удобства вычислений возьмем $x = 5$. Тогда $y = 0,2 \cdot 5 + 5 = 1 + 5 = 6$. Вторая точка — $(5; 6)$.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0; 5)$ и $(5; 6)$.

в) $y = -x + 4,5$

Это линейная функция, ее график — прямая. Определим координаты двух точек.

1. Если $x = 0$, то $y = -0 + 4,5 = 4,5$. Точка пересечения с осью OY — $(0; 4,5)$.
2. Если $y = 0$, то $0 = -x + 4,5$, откуда $x = 4,5$. Точка пересечения с осью OX — $(4,5; 0)$.

Ответ: Чтобы построить график, нужно соединить прямой точки $(0; 4,5)$ и $(4,5; 0)$.

г) $y = x + 1,5$

Функция является линейной, ее график — прямая линия. Для построения найдем две точки.

1. При $x = 0$, $y = 0 + 1,5 = 1,5$. Имеем точку $(0; 1,5)$.
2. При $x = 1$, $y = 1 + 1,5 = 2,5$. Имеем точку $(1; 2,5)$.

Ответ: График — прямая, проходящая через точки с координатами $(0; 1,5)$ и $(1; 2,5)$.

д) $y = \frac{1}{2}x - 3$

Это линейная функция, ее график — прямая. Для удобства вычислений будем выбирать четные значения $x$.

1. При $x = 0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0; -3)$.
2. При $x = 2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2 - 3 = 1 - 3 = -2$. Получаем точку $(2; -2)$.

Ответ: Графиком является прямая, которую можно построить по двум точкам: $(0; -3)$ и $(2; -2)$.

е) $y = -x - 3,5$

Графиком данной линейной функции является прямая. Найдем две точки для ее построения.

1. Если $x = 0$, то $y = -0 - 3,5 = -3,5$. Первая точка — $(0; -3,5)$.
2. Если $x = -1$, то $y = -(-1) - 3,5 = 1 - 3,5 = -2,5$. Вторая точка — $(-1; -2,5)$.

Ответ: График — это прямая, проходящая через точки $(0; -3,5)$ и $(-1; -2,5)$.

ж) $y = -3x + 4$

Функция линейная, ее график — прямая. Найдем координаты двух точек.

1. При $x = 0$, $y = -3 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка $(0; 4)$.
2. При $x = 1$, $y = -3 \cdot 1 + 4 = 1$. Точка $(1; 1)$.

Ответ: Для построения графика необходимо отметить точки $(0; 4)$ и $(1; 1)$ и провести через них прямую.

з) $y = -x + 3$

Это линейная функция, графиком которой является прямая. Найдем точки пересечения с осями координат.

1. При $x = 0$, $y = -0 + 3 = 3$. Точка пересечения с осью OY: $(0; 3)$.
2. При $y = 0$, $0 = -x + 3$, откуда $x = 3$. Точка пересечения с осью OX: $(3; 0)$.

Ответ: График функции — это прямая, проходящая через точки $(0; 3)$ и $(3; 0)$.

и) $y = x - 2$

График этой линейной функции — прямая. Найдем две точки, через которые она проходит.

1. Если $x = 0$, то $y = 0 - 2 = -2$. Первая точка $(0; -2)$.
2. Если $x = 2$, то $y = 2 - 2 = 0$. Вторая точка $(2; 0)$.

Ответ: График данной функции — прямая, проходящая через точки $(0; -2)$ и $(2; 0)$.

314. Длина прямоугольника $x$ см, а ширина на $3$ см меньше. Задайте формулами зависимость периметра прямоугольника от его длины и зависимость площади прямоугольника от длины. Какая из этих зависимостей является линейной функцией?

Зависимость периметра:

$P = 4x - 6$

Зависимость площади:

$S = x^2 - 3x$

Линейная функция:

Зависимость периметра является линейной функцией.

Зависимость периметра прямоугольника от его длины

По условию задачи, длина прямоугольника равна $x$ см. Ширина на 3 см меньше длины, следовательно, ширина равна $(x - 3)$ см. Стоит отметить, что так как ширина должна быть положительной величиной, $x > 3$.

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется как удвоенная сумма его длины и ширины: $P = 2 \cdot (\text{длина} + \text{ширина})$. Подставим в эту формулу наши значения:
$P(x) = 2 \cdot (x + (x - 3))$
Упростим выражение:
$P(x) = 2 \cdot (2x - 3)$
$P(x) = 4x - 6$

Ответ: Формула зависимости периметра прямоугольника от его длины: $P(x) = 4x - 6$.

Зависимость площади прямоугольника от длины

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины на ширину: $S = \text{длина} \cdot \text{ширина}$. Используя те же выражения для длины и ширины, получим:
$S(x) = x \cdot (x - 3)$
Раскроем скобки:
$S(x) = x^2 - 3x$

Ответ: Формула зависимости площади прямоугольника от его длины: $S(x) = x^2 - 3x$.

Какая из этих зависимостей является линейной функцией?

Линейная функция – это функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ – независимая переменная, а $k$ и $b$ – некоторые числа (коэффициенты). Главной особенностью является то, что переменная $x$ находится в первой степени.

Сравним полученные нами зависимости с этим определением:

• Зависимость периметра от длины $P(x) = 4x - 6$ полностью соответствует виду $y = kx + b$ (в данном случае $k=4$, $b=-6$). Следовательно, это линейная функция.
• Зависимость площади от длины $S(x) = x^2 - 3x$ содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$). Такая функция называется квадратичной и не является линейной.

Ответ: Линейной функцией является зависимость периметра от длины.

317. Линейная функция задана формулой $y = 0,5x + 6$. Найдите значение $y$, соответствующее $x = -12$; 0; 34. При каком $x$ значение $y$ равно $-16$; 0; 8?

Найдите значение y, соответствующее x = -12; 0; 34.

Чтобы найти значение функции $y$ при заданных значениях аргумента $x$, необходимо подставить эти значения в формулу функции $y = 0,5x + 6$.

1. При $x = -12$:

$y = 0,5 \cdot (-12) + 6 = -6 + 6 = 0$

2. При $x = 0$:

$y = 0,5 \cdot 0 + 6 = 0 + 6 = 6$

3. При $x = 34$:

$y = 0,5 \cdot 34 + 6 = 17 + 6 = 23$

Ответ: если $x=-12$, то $y=0$; если $x=0$, то $y=6$; если $x=34$, то $y=23$.

При каком x значение y равно -16; 0; 8?

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $y$ принимает заданное значение, необходимо решить уравнение относительно $x$. Сначала выразим $x$ из формулы функции $y = 0,5x + 6$.

$y - 6 = 0,5x$

$x = \frac{y - 6}{0,5}$

$x = 2(y - 6)$

Теперь подставим в полученное выражение заданные значения $y$.

1. При $y = -16$:

$x = 2 \cdot (-16 - 6) = 2 \cdot (-22) = -44$

2. При $y = 0$:

$x = 2 \cdot (0 - 6) = 2 \cdot (-6) = -12$

3. При $y = 8$:

$x = 2 \cdot (8 - 6) = 2 \cdot 2 = 4$

Ответ: $y=-16$ при $x=-44$; $y=0$ при $x=-12$; $y=8$ при $x=4$.

315. Ученик имел 85 р. На эти деньги он купил $x$ марок по 10 р. После покупки у него осталось $y$ р. Задайте формулой зависимость $y$ от $x$. Является ли эта зависимость линейной функцией?

Задайте формулой зависимость y от x.

По условию задачи, у ученика было 85 рублей. Он купил $x$ марок, каждая из которых стоит 10 рублей.
Стоимость всех купленных марок можно вычислить, умножив количество марок $x$ на цену одной марки 10 р. Таким образом, общая стоимость покупки составляет $10x$ рублей.
Сумма денег $y$, которая осталась у ученика, равна начальной сумме денег минус стоимость всех купленных марок.
Следовательно, зависимость $y$ от $x$ можно выразить следующей формулой:
$y = 85 - 10x$
Также стоит отметить, что количество марок $x$ может быть только целым неотрицательным числом, а остаток $y$ не может быть отрицательным. Это накладывает ограничение на возможные значения $x$:
$85 - 10x \ge 0$
$85 \ge 10x$
$x \le 8.5$
Так как $x$ — целое число, то $x$ может принимать значения от 0 до 8.

Ответ: $y = 85 - 10x$.

Является ли эта зависимость линейной функцией?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).
Полученная нами формула зависимости $y = 85 - 10x$ может быть переписана в виде $y = -10x + 85$.
Эта формула полностью соответствует стандартному виду линейной функции $y = kx + b$, где коэффициент $k = -10$, а коэффициент $b = 85$.
Следовательно, данная зависимость является линейной функцией.

Ответ: да, эта зависимость является линейной функцией.

318. Линейная функция задана формулой $y = -3x + 1,5$. Найдите:

а) значение $y$, если $x = -1,5$; 2,5; 4;

б) значение $x$, при котором $y = -4,5$; 0; 1,5.

а) значение y, если x = -1,5; 2,5; 4;

Для нахождения значения функции $y$ при заданных значениях аргумента $x$, необходимо подставить каждое значение $x$ в формулу линейной функции $y = -3x + 1,5$.

Если $x = -1,5$, то:
$y = -3 \cdot (-1,5) + 1,5 = 4,5 + 1,5 = 6$

Если $x = 2,5$, то:
$y = -3 \cdot 2,5 + 1,5 = -7,5 + 1,5 = -6$

Если $x = 4$, то:
$y = -3 \cdot 4 + 1,5 = -12 + 1,5 = -10,5$

Ответ: при $x = -1,5$ значение $y = 6$; при $x = 2,5$ значение $y = -6$; при $x = 4$ значение $y = -10,5$.

б) значение x, при котором y = -4,5; 0; 1,5.

Для нахождения значения аргумента $x$, при котором функция принимает заданное значение $y$, необходимо подставить каждое значение $y$ в формулу $y = -3x + 1,5$ и решить полученное линейное уравнение относительно $x$.

Если $y = -4,5$, то получаем уравнение:
$-4,5 = -3x + 1,5$
$3x = 1,5 + 4,5$
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$

Если $y = 0$, то получаем уравнение:
$0 = -3x + 1,5$
$3x = 1,5$
$x = \frac{1,5}{3}$
$x = 0,5$

Если $y = 1,5$, то получаем уравнение:
$1,5 = -3x + 1,5$
$3x = 1,5 - 1,5$
$3x = 0$
$x = 0$

Ответ: при $y = -4,5$ значение $x = 2$; при $y = 0$ значение $x = 0,5$; при $y = 1,5$ значение $x = 0$.